2019年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数课件 新人教A版必修4

1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数课标要求:1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角函数在各象限的符号.3.掌握诱导公式一及其应用.4.了解三角函数线的意义,会利用三角函数线比较三角函数值的大小.自主学习1.任意角的三角函数的定义在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:y叫做α的,记作sinα,即sinα=y;x叫做α的,记作cosα,即cosα=x;知识探究正弦余弦yx叫做α的,记作tanα,即tanα=yx(x≠0).正切探究1:对于确定的角α,sinα,cosα,tanα是否随P点在终边上的位置的改变而改变?提示:不会,三角函数是比值,是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置决定,即三角函数值的大小只与角有关.一般地,设α是一个任意角,它的终边上任取一点Q(x,y)(与原点不重合),点Q到原点的距离是r(r=22xy0),你能用x,y表示出角α的各个三角函数值吗?由相似三角形性质知sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx.2.三角函数值在各象限的符号记忆口诀:“一全正、二正弦、三、四”.正切余弦3.公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等,即sin2π,cos2π,tan2πkkk。(其中k∈Z)sinαcosαtanα4.有向线段和三角函数线(1)有向线段:带有方向的线段.如果有向线段与坐标轴同向,其值为正值,与坐标轴反向,其值为.(2)三角函数线:如图为角α的三种三角函数线,负值则sinα=;cosα=;tanα=.探究2:设α为锐角,你能根据正弦线和余弦线说明sinα+cosα1吗?提示:设角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴,垂足为M,则sinα=MP,cosα=OM,OP=1,在Rt△OMP中,由两边之和大于第三边得MP+OMOP,即sinα+cosα1.MPOMAT2.已知角α的终边与单位圆交于点(-32,-12),则sinα的值为()(A)-32(B)-12(C)32(D)121.cos330°等于()自我检测CB(A)12(B)-12(C)32(D)-32解析:由任意角的三角函数定义易知:sinα=y=-12,故选B3.若满足sinαcosα0,cosα-sinα0,则α的终边在()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限B4.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-,则m的值为,sinα=.答案:12-35455.如果cosx=|cosx|,那么角x的取值范围是.答案:{x|2kπ-π2≤x≤2kπ+π2(k∈Z)}题型一利用三角函数定义求三角函数值课堂探究【例1】(1)已知角α的终边与单位圆交于点P(12,-32),求角α的正弦、余弦和正切值;解:(1)由三角函数的定义,得sinα=-32,cosα=12,tanα=3212=-3.(2)把(1)中“角α的终边与单位圆交于点P(12,-32)”改为“角α的终边上一点P的坐标为(4a,-3a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα.”解:(2)因为角α终边上一点P(4a,-3a),所以r=5|a|,当a0时,sinα0,cosα0,所以sinα=35,cosα=-45,tanα=-34,当a0时,sinα0,cosα0,sinα=-35,cosα=45,tanα=-34.误区警示利用三角函数的定义求角的三角函数值,关键是确定角的终边与单位圆的交点坐标或确定终边上一个异于原点的点的坐标,一定要准确,否则容易出错,另外当角的终边位置不确定或所给条件中含参数时,需要讨论,不能忘记.即时训练1-1:(1)角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为-12,则tanθ的值为()(A)-3(B)±1(C)±3(D)±33解析:(1)角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为x=-12,则它的纵坐标为y=±32,故tanθ=yx=±3,故选C.(2)设a0,角α的终边经过点P(-3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于()(A)25(B)-25(C)15(D)-15解析:(2)法一设P点在单位圆上,则|OP|=1,即2234aa=1,解得a=±15.因为a0,所以a=-15.所以点P的坐标为(35,-45).所以sinα=-45,cosα=35.所以sinα+2cosα=-45+2×35=25.法二因为x=-3a,y=4a,所以r=|OP|=2234aa=5|a|,因为a0,所以r=-5a,所以sinα=yr=-45,cosα=xr=35,所以sinα+2cosα=25.故选A.题型二三角函数值的符号问题【例2】判断下列各式的符号:(1)α是第四象限角,sinα·tanα;解:(1)因为α是第四象限角,所以sinα0,tanα0,所以sinα·tanα0.(2)sin5·cos2·tan(-π).解:(2)因为32π52π,所以sin50.因为π22π,所以cos20,因为-234π=-6π+π4,所以tan(-234π)0.所以sin5·cos2·tan(-234π)0.234题后反思判断三角函数值的符号的关键:(1)角的终边所在象限;(2)熟记三角函数值在各象限的符号.(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角即时训练2-1:(1)若sinαtanα0,且costan0,则角α是()解析:(1)由sinαtanα0可知sinα,tanα异号,从而α是第二或第三象限角,由costan0可知cosα,tanα异号,从而α是第三或第四象限角.综上可知,α是第三象限角.故选C.答案:(1)C解析:(2)因为θ是第三象限角,所以π+2kπθ32π+2kπ,k∈Z,所以π2+kπ234π+kπ,k∈Z,所以角2为第二、四象限角.又因为|sin2|=-sin2,所以sin20,所以2为第四象限角.(2)设θ是第三象限角,且满足|sin2|=-sin2,则角2为第象限角.答案:(2)四题型三公式一的应用解:(1)因为-1050°=-3×360°+30°,所以cos(-1050°)=cos(-3×360°+30°)=cos30°=32.【例3】求值:(1)cos(-1050°);(2)tan25π3;(2)因为25π3=4×2π+π3,所以tan25π3=tan(4×2π+π3)=tanπ3=3.解:(3)因为-314π=-4×2π+π4,所以sin(-31π4)=sin(-4×2π+π4)=sinπ4=22.(3)sin(-31π4);(4)sin(-1395°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°;(4)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin45°cos30°+cos60°sin30°=22×32+12×12=64+14=614.解:(5)原式=sin(-2π+π6)+cos(2π+2π5)tan(4π+0)=sinπ6+0×cos2π5=12.(5)sin(-11π6)+cos12π5tan4π.方法技巧诱导公式的应用方法利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数,也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数,即实现了“负化正,大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.解析:(1)sin1470°=sin(4×360°+30°)=sin30°=12.cos9π4=cos(2π+π4)=cosπ4=22.tan(-116π)=tan(-2π+π6)=tanπ6=33.即时训练3-1:(1)求值:sin1470°=;cos9π4=;tan(-116π)=;答案:(1)122232解析:(2)sin2πcos2πtan4π=sincostan.因为tanα=13,且0απ2,所以可设α终边上一点坐标为(3x,x),x0,所以sinα=223xxx=1010,(2)已知tanα=13,且0απ2,则sin2πcos2πtan4π为.cosα=2233xxx=31010.所以原式=10310101013=910.答案:(2)910题型四三角函数线的应用【例4】(1)如果π4απ2,那么sinα,tanα,cosα按从小到大的顺序排列为;解析:(1)如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT,很容易地观察出OMMPAT,即cosαsinαtanα.答案:(1)cosαsinαtanα解析:(2)由题意,知sincos,tan0.如图,由三角函数线可得π5π,44π30ππ.22或即π4απ2或πα54π.(2)已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,在[0,2π]内角α的取值范围为.答案:(2)(π4,π2)∪(π,54π)方法技巧(1)利用一个角的三角函数线可以比较这个角的不同三角函数值的大小,也可以比较不同角的同一种三角函数值的大小.(2)用三角函数线确定三角函数值的大小,要尽量规范画图,这是利用数形结合思想解题的关键.即时训练4-1:(1)下列关系式中正确的是()(A)sin10°cos10°sin160°(B)sin160°sin10°cos10°(C)sin10°sin160°cos10°(D)sin160°cos10°sin10°解析:(1)由三角函数线知sin160°=sin20°sin10°,而cos10°sin20°.所以选C.答案:(1)C解析:(2)如图所示,画出三角函数线,sinx=MP,cosx=OM,由于sin(-3π4)=cos(-3π4),sinπ4=cosπ4,为使sinx≤cosx成立,由图可得在[-π,π]范围内,-3π4≤x≤π4.故选A.(2)使sinx≤cosx成立的x的一个区间是()(A)[-3π4,π4](B)[-π2,π2](C)[-π4,3π4](D)[0,π]答案:(2)A(3)函数y=2cos1x的定义域为.解析:(3)因为2cosx-1≥0,所以cosx≥12.如图.所以函数定义域为[-π3+2kπ,π3+2kπ](k∈Z).答案:(3)[-π3+2kπ,π3+2kπ](k∈Z)