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1.1.2弧度制课标要求:1.了解弧度制.2.能进行角度与弧度的互化.3.掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.自主学习1.弧度制(1)长度等于的弧所对的叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|=.知识探究半径长圆心角lr探究:角度制和弧度制的区别和联系?提示:联系:弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制.区别:(1)1弧度的角与1度的角所指含义不同,大小更不同.(2)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角,角的大小都是一个与“半径”大小无关的值.(3)用“度”作为单位度量角时,“度”(即“°”)不能省略,而用“弧度”作为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”通常省略不写.2.角度与弧度的换算(1)角度化弧度弧度化角度360°=2πrad2πrad=360°180°=πradπrad=180°1°=π180rad≈0.01745rad1rad=(180π)°≈57.30°(2)常用特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π6π4π3π22π33π45π6π3π22π3.弧度制下扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R,圆心角为α弧度,则弧长l=,面积S=12lR=(0α2π).212aRαR1.5弧度的角的终边所在的象限为()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限自我检测D2.下列四组角的表示式中,表示终边相同的角的是()C(A)2kπ±π6与kπ+π6,k∈Z(B)kπ+π3与π3k,k∈Z(C)kπ-π2与kπ+π2,k∈Z(D)4kπ±π与kπ,k∈Z3.在半径为14的圆中,弧度数为的圆心角所对的弧长为()D4.已知某扇形的圆心角为120°,半径为3,则圆心角的弧度数为,扇形弧长为,扇形面积为.5π7(A)5π14(B)5π7(C)10π7(D)10π解析:由题意,得圆心角所对的弧长l=rα=14×5π7=10π,故选D.答案:23π2π3π5.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},则A∩B=.答案:{α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}题型一弧度制的概念课堂探究【例1】有关角的度量给出以下说法:①1°的角是周角的1360,1rad的角是周角的12π;②1rad的角等于1度的角;③180°的角一定等于πrad的角;④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.其中正确的说法是.答案:①③④解析:由弧度制的定义、弧度与角度的关系知,①③④均正确;因为1rad=(180π)°≈57.30°≠1°,故②不正确.误区警示在解决关于弧度制的概念辨析问题时,一定要准确理解概念,知道角度制与弧度制的关系,否则就很容易判断错误.即时训练1-1:下列说法正确的是()(A)在弧度制下,角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系(B)每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应(C)用角度制和弧度制度量任一角,单位不同,量数也不同(D)-120°的弧度数是2π3解析:A项中,零角的弧度数为0,故A项错误;B项是正确的;C项中,用角度制和弧度制度量零角时,单位不同,但量数相同(都是0),故C项错误;-120°对应的弧度数是-2π3,故D项错误.故选B.题型二角度制与弧度制的换算(1)将α1,α2用弧度制表示,并指出它们各在哪个象限;【例2】设角α1=-570°,α2=750°,β1=3π5,β2=-7π3.解:(1)α1=-570×π180=-19π6=-4π+5π6,α2=750×π180=25π6=4π+π6,所以α1在第二象限,α2在第一象限.(2)将β1,β2用角度制表示,并在-720°～0°范围内找出与它们有相同终边的所有角.解:(2)β1=3π5×(180π)°=108°,与β1终边相同的角θ1=k·360°+108°,k∈Z.由-720°≤θ10°,得-720°≤k·360°+108°0°,所以k=-2或k=-1.所以在-720°～0°范围内与β1有相同终边的角是-612°和-252°.β2=-7π3×(180π)°=-420°,与β2终边相同的角θ2=k·360°-420°,k∈Z.由-720°≤θ20°,得-720°≤k·360°-420°0°,所以k=0或k=1.所以在-720°～0°范围内与β2有相同终边的角是-420°和-60°.方法技巧(1)在进行角度与弧度的互化时,注意保持单位统一,在同一个式子里,不能既有角度又有弧度.(2)在判断角α终边所在象限时,把α表示成α=2kπ+β,β∈(-2π,2π)(k∈Z)的形式,然后利用角β所在象限确定角α终边所在象限.即时训练2-1:(1)下列与的终边相同的角的表达式中,正确的是()9π4(A)2kπ+45°(k∈Z)(B)k·360°+9π4(k∈Z)(C)k·360°-315°(k∈Z)(D)kπ+5π4(k∈Z)(1)解析:与9π4的终边相同的角可以写成2kπ+9π4(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有选项C正确.(2)把-1480°写成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中0≤α≤2π;(2)解:因为-1480°=-1480×π180rad=-749πrad,而-749π=-10π+169π,所以α=169π.所以-1480°=169π+2×(-5)π.(3)在[0°,720°]中找出与终边相同的角.2π5(3)解:因为25π=25π×(180π)°=72°,所以与2π5终边相同的角为θ=72°+k·360°(k∈Z).当k=0时,θ=72°;当k=1时,θ=432°,所以在[0°,720°]中与2π5终边相同的角为72°,432°.题型三与扇形的弧长、面积有关的计算解:(1)设弧长为l,弓形面积为S,则α=60°=π3,R=10,l=π3×10=103π(cm),S=12×103π×10-12×10×53=503π-5032=(503π-253)(cm2).【例3】已知一扇形的圆心角为α(α0),圆的半径为R,(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;解:(2)设扇形的半径为R,弧长为l,则l+2R=20,即l=20-2R(0R10),所以扇形的面积S=12lR=12(20-2R)R=-R2+10R=-(R-5)2+25,所以当R=5cm时,S有最大值25cm2,此时,l=10cm,α=lR=2rad.因此,当α=2rad时,扇形的面积取最大值.(2)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角α等于多少度时,这个扇形的面积最大?方法技巧弧度制下处理扇形问题的方法(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S=12lr=12|α|r2(其中l是扇形的弧长,r是扇形的半径,α是扇形的圆心角).(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.(3)运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度数.即时训练3-1:已知在半径为8的圆O中,弦AB的长为8.(1)求弦AB所对圆心角α(0απ)的大小;解:(1)因为在半径为8的圆O中,弦AB的长为8.所以△OAB为等边三角形,所以弦AB所对圆心角为α=π3.解:(2)由(1)可得弧长l=8×π3=8π3.弓形的面积S=S扇-S△OAB=12×8π3×8-12×8·2284=32π3-163.(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.