2019年高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角课件 新人教A版必修4

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角课标要求:1.了解任意角的概念及角的分类.2.理解象限角的概念.3.理解终边相同的角的概念,并能熟练写出终边相同的角的集合表示.自主学习1.任意角的概念(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置到另一个位置所成的图形,如图所示,∠AOB(或∠O或α)中角的顶点是O.角的始边是射线OA,角的终边是射线OB.知识探究旋转(2)角的分类按旋转方向可将角分为如下三类:①正角:按方向旋转形成的角;②负角:按顺时针方向旋转形成的角;③零角:如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角.2.象限角(1)在直角坐标系中研究角时,如果角的顶点与重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.如果角的终边上,就认为这个角不属于任何一个象限.(2)终边落在x轴的非负半轴和y轴的非正半轴上的角的集合分别为{α|α=k·360°,k∈Z};{α|α=k·360°+270°,k∈Z}.逆时针原点坐标轴3.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=，即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.【拓展延伸】(1)锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的区别角集合表示锐角A={α|0°α90°}0°～90°的角B={α|0°≤α90°}小于90°的角C={α|α90°}第一象限角D={α|k·360°αk·360°+90°,k∈Z}{β|β=α+k·360°,k∈Z}(2)象限角的集合表示角α的终边所在象限集合表示第一象限{α|k·360°αk·360°+90°,k∈Z}第二象限{α|k·360°+90°αk·360°+180°,k∈Z}第三象限{α|k·360°+180°αk·360°+270°,k∈Z}第四象限{α|k·360°+270°αk·360°+360°,k∈Z}(3)轴线角的集合表示角α的终边位置集合表示x轴的非负半轴{α|α=k·360°,k∈Z}x轴的非正半轴{α|α=k·360°+180°,k∈Z}y轴的非负半轴{α|α=k·360°+90°,k∈Z}y轴的非正半轴{α|α=k·360°+270°,k∈Z}y轴{α|α=k·180°+90°,k∈Z}x轴{α|α=k·180°,k∈Z}坐标轴{α|α=k·90°,k∈Z}1.以下表示第一象限角的集合的是()(A){x|0°x90°}(B){x|k·360°≤x≤k·360°+90°,k∈Z}(C){x|k·360°-90°xk·360°,k∈Z}(D){x|k·360°xk·360°+90°,k∈Z}自我检测D2.设A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°的角},C={θ|θ为第一象限的角},D={θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是()(A)A=B(B)B=C(C)A=C(D)A=DD3.若β是第二象限角,则270°+β是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角A解析:由于β是第二象限角,所以k·360°+90°βk·360°+180°,k∈Z,则(k+1)·360°β+270°(k+1)·360°+90°,k∈Z,所以270°+β是第一象限角,故选A.4.855°是第象限角.答案:二5.集合M={α=k·90°,k∈Z}中,各角的终边在上.答案:x轴或y轴题型一终边相同的角及象限角课堂探究【例1】(1)将下列各角表示为k·360°+α(k∈Z,0°≤α360°)的形式,并指出是第几象限角.①420°;②-510°;③1020°.解:(1)①420°=360°+60°,而60°角是第一象限角,故420°是第一象限角.②-510°=-2×360°+210°,而210°是第三象限角,故-510°是第三象限角.③1020°=2×360°+300°,而300°是第四象限角,故1020°是第四象限角.(2)在与角1030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.①最小的正角;②最大的负角.解:(2)1030°÷360°=2……310°,所以1030°=2×360°+310°,所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+310°,k∈Z}.①故所求的最小正角为310°.②取k=-1得所求的最大负角为-50°.误区警示在利用β=α+k·360°(k∈Z)判断β所在象限时,一定要注意0°≤α360°,这样只需判断α所在的象限即可.即时训练1-1:(1)写出终边在如图所示直线上的角的集合;解:(1)①在0°～360°范围内,终边在x轴上的角有两个,即0°和180°,因此所有与0°角的终边相同的角构成集合S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},而所有与180°的终边相同的角构成集合S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z}.于是,终边落在x轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.②在0°～360°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°.因此,终边在直线y=-x上的角的集合S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.③终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z},于是所求角的集合S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.(2)已知α=-1845°,在与α终边相同的角中,求满足下列条件的角.①最小的正角;②最大的负角;③-360°～720°之间的角.解:(2)因为-1845°=-45°+(-5)×360°,即-1845°角与-45°角的终边相同,所以与角α终边相同的角的集合是{β|β=-45°+k·360°,k∈Z}.①最小的正角为315°.②最大的负角为-45°.③-360°～720°之间的角分别是-45°,315°,675°.题型二区域角的表示解:终边与OA重合的最小正角为30°,故终边落在OA上的角的集合为{α|α=30°+k·360°,k∈Z}.同理,终边与OB重合的最小正角为60°,故终边落在OB上的角的集合为{β|β=60°+k·360°,k∈Z}.由题图可知,阴影部分区域可表示为{γ|30°+k·360°≤γ≤60°+k·360°,k∈Z}.【例2】写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.变式探究:把例2图形中的阴影部分(包括边界)变为如图,再写出终边落在阴影部分的角的集合.解:图中阴影部分在第一象限的为k·360°+30°≤α≤k·360°+90°,在第三象限的为k·360°+210°≤α≤k·360°+270°,则两部分合为{α|k·180°+30°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}.方法技巧表示区域角的步骤:(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)写出以起始、终止边界为终边的角.(3)根据角的大小关系写出表示区域角的集合或区间.求解最后结果需注意边界线的虚实,即表示区域角的区间的开闭.即时训练2-1:(1)如图所示,写出顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合;(1)解:①以OB为终边的角是330°,可看成-30°,所以以OA,OB为终边的角的集合分别是S1={x|x=75°+k·360°,k∈Z},S2={x|x=-30°+k·360°,k∈Z},所以终边落在阴影部分内的角的集合为{θ|k·360°-30°≤θ≤k·360°+75°,k∈Z}.②设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成.(ⅰ){α|k·360°+30°≤αk·360°+105°,k∈Z};(ⅱ){α|k·360°+210°≤αk·360°+285°,k∈Z}.所以角α的集合应当是集合(ⅰ)与(ⅱ)的并集;{α|k·360°+30°≤αk·360°+105°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°≤αk·360°+285°,k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α2k·180°+105°或(2k+1)180°+30°≤α(2k+1)·180°+105°,k∈Z}={α|n·180°+30°≤αn·180°+105°,n∈Z}.(2)如图,已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界),用集合表示角α的取值范围为.(2)解析:终边与OB重合的最小正角为30°,故终边落在OB上的角的集合为{β|β=30°+k·360°,k∈Z},终边与OA重合的最大负角为-60°,故终边落在OA上的角的集合为{γ|γ=-60°+k·360°,k∈Z}.则角α的取值范围为{α|-60°+k·360°≤α≤30°+k·360°,k∈Z}.答案:{α|-60°+k·360°≤α≤30°+k·360°,k∈Z}题型三判断角所在的象限解:因为α是第二象限角,所以90°+k·360°α180°+k·360°(k∈Z).因为180°+2k·360°2α360°+2k·360°(k∈Z),所以2α是第三或第四象限角,或2α的终边在y轴的非正半轴上.法一因为45°+k·180°290°+k·180°(k∈Z),当k=2n(n∈Z)时,45°+n·360°290°+n·360°(n∈Z),【例3】若α是第二象限角,试分别确定2α,2,3的终边所在位置.当k=2n+1(n∈Z)时,225°+n·360°2270°+n·360°(n∈Z),所以2是第一或第三象限角.因为30°+k·120°360°+k·120°(k∈Z),当k=3n(n∈Z)时,30°+n·360°360°+n·360°(n∈Z),当k=3n+1(n∈Z)时,150°+n·360°3180°+n·360°(n∈Z),当k=3n+2(n∈Z)时,270°+n·360°3300°+n·360°(n∈Z),所以3是第一、第二或第四象限角.法二将坐标系每个象限二等分,得到8个区域,自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(如图①所示).因为α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为所求,所以2是第一或第三象限角.将坐标系每个象限三等分,得到12个区域,自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(如图②所示).因为α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为所求,所以3是第一、第二或第四象限角.方法技巧判断α是第几象限角的三个步骤第一步,将α写成α=k·360°+β(k∈Z,0°≤β360°)的形式.第二步,判断β的终边所在的象限.第三步,根据β的终边所在的象限,即可确定α的终边所在的象限.如果表达式中的k是2m(m∈Z)的形式,就要把m分为奇数、偶数两种情形后再作判断.即时训练3-1:(1)已知角α的终边与-770°角的终边关于y轴对称,则角α的终边在第象限.(1)解析:-770°=310°+(-3)×360°=40°+270°+(-3)×360°,由已知条件可知角α的终边与270°-40°=230°角的终边相同,故α=230°+k·360°,k∈Z.因为230°角的终边在第三象限,所以角α终边在第三象限.答案:三(2)已知角α是第三象限角.求:①角2是第几象限的角;(2)解:①因为α是第三象限角,所以180°+k·360°α270°+k·360°(k∈Z),所以90°+k·180°2135°+k·180°(k∈Z),当k为偶数时,2为第二象限角,当k为奇数时,2为第四象限角,则2是第二象限或第四象限角.②角2α终边的位置.解:②因为180°+k·360°α270°+k·360°(k∈Z),所以360°+2k·360°2α540°+2k·360°(k∈Z),即角2α终边在