2019年高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第一课时 正、余弦定理在实际中的应用课件 新

1.2应用举例第一课时正、余弦定理在实际中的应用课标要求:1.能够利用正弦定理、余弦定理解任意三角形.2.能够运用正弦定理、余弦定理解决实际中的测量问题.自主学习知识探究1.实际应用问题中的相关术语如下表:术语名称术语意义图示仰角与俯角目标视线与水平视线的夹角.目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标视线在水平视线下方的叫作俯角方位角北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的最小正角叫作方位角,方位角的范围是(0°,360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)多少度方向角是方位角的另一个常用表示形式例:(1)北偏东m°(2)南偏西n°坡角坡面与水平面的夹角坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比设坡角为α,坡度为i,则i=hl=tanα2.解三角形实际问题的主要类型(1)当两点A,B之间的距离不能直接测量时,求A,B的距离分为以下三类:类型简图计算方法A,B两点间不可达也不可视可取某点C,测出AC=b,BC=a以及∠ACB=γ,利用余弦定理得AB=A,B两点间可视但不可到达可选取与B同侧的点C,测出BC=a以及∠ABC和∠ACB,先使用内角和定理求出∠BAC,再利用正弦定理求出ABA,B两点都不可到达先在一侧选取两点C,D,测出CD=m,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠ADB,再在△BCD中求出BC,在△ADC中求出AC,最后在△ABC中,由余弦定理求出AB222cosabab(2)当AB的高度不可直接测量时,求AB的高度分为三类:类型简图计算方法底部可到达取与底部B同水平面的一点C,测出BC及∠ACB,利用直角三角形的边角关系得AB=BC·tanC底部不可到达点B与C,D共线测出CD及∠ACB,∠ADB,利用正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形求解B,C,D不共线时测出CD及∠ACB,∠CDB,∠BCD,在△BCD中由正弦定理求得BC,再解直角三角形求得AB的值自我检测1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为()(A)αβ(B)α=β(C)α+β=90°(D)α+β=180°B解析:根据仰角与俯角的定义知α=β.故选B.A2.某次测量中,若A在B的南偏东40°,则B在A的()(A)北偏西40°(B)北偏东50°(C)北偏西50°(D)南偏西50°解析:由方向角的定义知选A.D3.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较适宜的是()(A)a,c,α(B)b,c,α(C)c,a,β(D)b,α,β解析:由正弦定理BC=,故选D.sinsinb4.如图,甲、乙两楼相距20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则乙楼的高是m.解析:因为∠ADB=60°,所以∠DAB=30°,∠ADC=30°,∠DAC=30°,∠ACD=120°,AD=40.由正弦定理有sinCDCAD=sinADACD,所以sin30CD=40sin120,所以CD=4033.答案:40335.一船从港口A出发,沿北偏东30°方向行驶了3km到达B岛,又沿南偏东60°方向行驶了3km到达C岛,则C岛在港口A的北偏东方向,距港口Akm.解析:由题意画出示意图,如图.则AB=3km,BC=3km,∠ABC=90°,所以AC=2233=32(km),∠BAC=45°.此时C岛在港口A北偏东75°方向.答案:75°32题型一测量距离问题课堂探究【例1】(1)甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发,以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15min时,两船间的距离是()(A)7km(B)13km(C)19km(D)1033km(1)解析:如图,设行驶15min时,甲船到达M点,乙船到达N点,由题意知AM=8×14=2km,BN=12×14=3km,MB=AB-AM=3-2=1km,由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos120°=1+9-2×1×3×（-12）=13,所以MN=13km.故选B.(2)解:因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,又因为∠ACD=60°,所以∠DAC=60°.所以AD=CD=32a.在△BCD中,∠DBC=180°-30°-105°=45°,因为sinDBBCD=sinCDDBC,所以BD=CD·sinsinBCDDBC=32a·62422=334a.(2)在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这两支精锐部队的距离.32a在△ADB中,因为AB2=AD2+BD2-2·AD·BD·cos∠ADB=34a2+（334a）2-2×32a·334a·32=38a2,所以AB=64a.所以蓝方这两支精锐部队的距离为64a.误区警示求距离问题的注意事项(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.即时训练1-1:如图所示,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距千米的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.3解:在△ACD中,由已知得:∠ADC=30°,∠ACD=75°+45°=120°,所以∠CAD=30°,所以AC=CD=3.在△BDC中,∠CBD=180°-45°-(45°+30°)=60°,由正弦定理,可得BC=3sin75sin60=2sin(30°+45°)=2sin30°cos45°+2cos30°sin45°=622.在△ACB中,由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,所以AB2=(3)2+（622）2-2×3×622×cos75°=5+3-(32+6)(cos30°cos45°-sin30°sin45°)=5,所以AB=5千米.故两目标A,B间的距离为5千米.方法技巧求两不可到达的点之间的距离问题,通常需要解多个三角形,通过一些相邻三角形公共边、角的相互转化,并综合应用正、余弦定理,来获得待求的距离.题型二测量高度问题(A)(30+303)m(B)(30+153)m(C)(15+303)m(D)(15+33)m【例2】(1)如图所示,为测量一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度为()A(1)解析:由正弦定理可得60sin4530=sin30PB,则PB=1602sin15=30sin15(m),设树的高度为h,则h=PBsin45°=(30+303)m.故选A.(2)如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.(2)解:在Rt△ABC中,∠ACB=45°,若设AB=h,则BC=h;在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=3h,在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD,即2002=h2+(3h)2-2·h·3h·32,所以h2=2002,解得h=200(h=-200舍去).即塔高AB=200米.方法技巧测量高度问题的方法:由于塔垂直于地面,因此一定会出现直角三角形,应抓住此条件求出直角三角形的某条边,再应用到其他三角形中.问题中,如果既有方向角又有仰(俯)角,在绘制图形时,可画出立体图形和平面图形两个图,以对比分析求解.变式探究:本例中,若将条件改为∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,且在C点测得塔顶A的仰角为60°,如何求塔高AB?解:在Rt△ABC中,∠ACB=60°,设AB=h,则BC=33h,在△BCD中,∠BCD=15°,∠BDC=30°,故∠CBD=135°,由正弦定理可得,sinCDCBD=sinBCBDC,即3022=3312h,所以h=156,故塔高AB为156米.即时训练2-1:如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.解析:在△ABC中,∠BAC=30°,∠BCA=75°-30°=45°,所以由正弦定理得,BC=sinsinBACBCA·AB=sin30sin45×600=1222×600=3002.在△BCD中,CD=BCtan30°=3002×33=1006.故此山的高度为1006m.答案:1006题型三测量角度问题【例3】(1)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°方向,灯塔B在观察站C的南偏东60°方向,则灯塔A在灯塔B的()(A)北偏东10°方向(B)北偏西10°方向(C)南偏东10°方向(D)南偏西10°方向(1)解析:由题意,得∠ACB=180°-(40°+60°)=80°.因为AC=BC,所以∠A=∠CBA=50°.因为∠CBD=60°,所以∠ABD=60°-50°=10°.故灯塔A在灯塔B的北偏西10°方向.故选B.(2)在海岸A处,发现北偏东45°,距离A处(3-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.此时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?(2)解:若要最快追上走私船,则两船所用时间相等.假设在D处相遇,设缉私船用th在D处追上走私船,如图.则有CD=103t,BD=10t.在△ABC中,因为AB=3-1,AC=2,∠BAC=120°,所以由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(3-1)2+22-2×(3-1)×2×cos120°=6.所以BC=6.在△ABC中,由正弦定理知sin120BC=sinACABC,所以sin∠ABC=3226=22,所以∠ABC=45°.所以B在C的正东方向.所以∠CBD=90°+30°=120°.在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BCD=sinBDCBDCD=10sin120103tt=12.所以∠BCD=30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.方法技巧测量角度问题也就是通过解三角形求角的问题,求角问题可转化为求该角的三角函数值.若是用余弦定理求得该角的余弦,则该角易确定,若用正弦定理求得该角的正弦,则需讨论解的情况.即时训练3-1:某渔船在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离为10nmile的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以10nmile/h的速度向某小岛B靠拢,我海军舰艇立即以10nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.解:如图所示,设所需时间为t小时,则AB=103t,CB=10t.在△ABC中,根据余弦定理,则有AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°,可得(103t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos120°.3整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-12(舍去).所以舰艇需1小时靠近渔船,此时AB=103,BC=10.在△ABC中,由正弦定理得sinBCCAB=sin120AB,所以sin∠CAB=sin120BCAB=3102103=12,所以∠CAB=30°,即舰艇航向为方位角75°,靠近渔船所需的时间为1小时.