2019年高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第二课时 正、余弦定理在三角形中的应用课件

第二课时正、余弦定理在三角形中的应用课标要求:1.掌握三角形的面积公式,会用公式计算三角形面积.2.会用正、余弦定理解决三角形中一些恒等式的证明问题.3.会用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题.自主学习知识探究1.三角形中的面积公式(1)求三角形的面积需要根据S△ABC=12aha=12bhb=12chc或S△ABC=12abcsinC==计算,尤其是知道三角形的两边与一角或两角与一边时,用后者比较方便.1sin2bcA1sin2acB(2)S=12r(a+b+c)(其中r为三角形内切圆的半径).证明:如图,设△ABC内切圆的圆心为O,则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12c·r+12a·r+12b·r=12(a+b+c)r.(3)三角形内切圆的半径:r=2Sabc(S为三角形的面积),特别地,在直角三角形中,斜边为c,则r=2abc.(4)三角形的面积S=ppapbpc,这里p=12(a+b+c),这就是海伦公式.2.解决与三角形有关的问题,常用到哪些定理及常见结论?提示:除了正弦定理,余弦定理和三角形内角和定理外,还常用到的结论有:(1)A+B=π-C,2AB=π2-2C.(2)在三角形中大边对大角,反之亦然.(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(4)三角形内的诱导公式sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC（C≠π2）,sin2AB=cos2C,cos2AB=sin2C.自我检测1.在△ABC中,A=60°,AB=1,AC=2,则S△ABC的值为()(A)12(B)32(C)3(D)23B解析:S△ABC=12AB·ACsinA=sin60°=32.故选B.2.钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC等于()(A)5(B)5(C)2(D)1B解析:设AC的长为x,由余弦定理可得cosB=2222ABBCACABBC=2322x,sinB=246122xx,因为S△ABC=12BC·AB·sinB=24614xx=12,整理得x4-6x2+5=0,令t=x2,则上式为t2-6t+5=0,求得t1=5,t2=1,所以x1=5,x2=1,x3=-5(舍去),x4=-1(舍去);又当x2=1时,△ABC为直角三角形,故选B.3.△ABC的三边长分别为a,b,c,点D为BC边上的中点,下列说法正确的是()(A)AD222122cba(B)AD=222122cba(C)AD222122cba(D)AD≤222122cbaB解析:将AD延长到E使AE=2AD,在△ABC中cosA=2222bcabc,在△ACE中(2AD)2=b2+c2-2bccos(π-A)=b2+c2+2bc·2222bcabc=2(b2+c2)-a2,所以AD=222122cba,故选B.4.已知锐角△ABC的面积为3,BC=4,CA=3,则角C的大小为.解析:由三角形面积公式S=12|AC||BC|sinC得33=12×3×4sinC,所以sinC=32,所以C=60°或120°,因为三角形是锐角三角形,所以角C的大小为60°3答案:60°5.在△ABC中,有下列命题:①asinA=bsinB;②asinB=bsinA;③acosB=bcosA;④若sinAsinB,则AB;⑤若AB,则sinAsinB.其中恒成立的命题序号为.解析:由正弦定理得,命题①等价于a2=b2,显然只有为等腰三角形时才成立;命题②显然成立;acosB=bcosA⇔sinAcosB=sinBcosA⇔sin(A-B)=0⇔A=B,故只有在等腰三角形时成立;AB⇔ab⇔sinAsinB,显然命题④⑤成立.答案:②④⑤题型一三角形面积的计算课堂探究【例1】在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2csinA.(1)确定角C的大小;3解:(1)因为3a=2csinA,所以sinaA=23c,所以sincC=23c,从而sinC=32.所以C=π3或2π3.(2)若c=7,且△ABC的面积为332,求a+b的值.解:(2)当C=π3时,由面积公式知12absinπ3=332,即ab=6,又由余弦定理,得a2+b2-2abcosπ3=7,所以a2+b2-ab=7.即(a+b)2-3ab=7,所以(a+b)2=25.所以a+b=5.当C=2π3时,由面积公式得12absin2π3=332,即ab=6.又由余弦定理得a2+b2-2abcos2π3=7,所以a2+b2+ab=7.即(a+b)2-ab=7,所以(a+b)2=13,所以a+b=13.方法技巧(1)本题采用了整体代换的思想,把a+b,ab作为整体,求解过程既方便又灵活.(2)三角形面积公式有多种形式,根据题中的条件选择最合适的面积公式.在解三角形中通常选用S=12absinC=12bcsinA=12acsinB,这个公式中含有正弦值,可以和正弦定理建立关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是根据题中的条件选择正确的变换方向.即时训练1-1:在△ABC中,已知AB=2,AC=22,cosB=13.(1)求sinC的值;解:(1)因为cosB=13,所以sinB=223,因为sinABC=sinACB,且AC=22,AB=2,所以sinC=sinABBAC=23.解:(2)因为sinC=23,cosB=13,(因为ACAB,所以cosC=53),所以sin(B+C)=2109+29,所以sinA=2109+29,因为AB=2,AC=22,因为S=12AB·AC·sinA,所以S=85429.(2)求△ABC的面积S.题型二平面图形中线段长度的计算【例2】如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos∠CAD的值;7解:(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=2222ACADCDACAD=71427=277.(2)若cos∠BAD=-714,sin∠CBA=216,求BC的长.解:(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=277,cos∠BAD=-714.所以sin∠CAD=21cosCAD=22717=217.sin∠BAD=21cosBAD=27114=32114,于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BAD·sin∠CAD=32114×277-(-714)×217=32.在△ABC中,由正弦定理,得sinBC=sinACCBA,故BC=sinsinACCBA=372216=3.方法技巧三角形中的几何计算问题的解题要点及突破点(1)正确挖掘图形中的几何条件是解题要点,善于应用正弦定理和余弦定理,只需解三角形.(2)求解此类问题的突破点是仔细观察认真分析,迅速发现图形中较为隐蔽的几何条件.即时训练2-1:在△ABC中,D为边AB上一点,DA=DC.已知B=π4,BC=1.(1)若DC=63,求角A的大小;解:(1)在△BCD中,B=π4,BC=1,DC=63,由正弦定理得sinBCBDC=sinDCB,解得sin∠BDC=πsin463=32,则∠BDC=π3或2π3.又由DA=DC,则A=π6或π3.(2)若△BCD的面积为,求边AB的长.16解:(2)由于B=π4,BC=1,△BCD的面积为16,则12BC·BD·sinπ4=16,解得BD=23.由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosπ4=1+29-2×23×22=59,故CD=53.又AB=AD+BD=CD+BD=53+23=253,故边AB的长为253.题型三三角形中三角恒等式的证明问题【例3】在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.求证:222abc=sinsinABC.解:法一由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,得a2-b2=b2-a2+2c(acosB-bcosA),即a2-b2=c(acosB-bcosA),变形得222abc=coscosaBbAc=accosB-bccosA.由正弦定理sinaA=sinbB=sincC,得ac=sinsinAC,bc=sinsinBC,所以222abc=sincossincossinABBAC=sinsinABC.法二sinsinABC=sincoscossinsinABABC=sinsinACcosB-sinsinBCcosA=ac·2222acbac-bc·2222bcabc=22222acbc-22222bcac=22222abc=222abc.所以原等式成立.方法技巧三角恒等式中,一般同时含有边和角,证明时既可以化边为角,也可化角为边,然后进行三角变换或者代数变换,通常依据式子的特征合理选择变化角度.即时训练3-1:在△ABC中,求证:coscosacBbcA=sinsinBA.证明:左边=22222222cacbaaccbcabbc=2222acba·2222bbca=ba=sinsinBA=右边,所以coscosacBbcA=sinsinBA.