2019年高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理课件 新人教A版必修5

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课标要求:1.了解正弦定理的推导过程.2.能利用正弦定理解决两类解三角形的基本问题.3.能利用正弦定理及其变形判断三角形的形状.自主学习知识探究1.正弦定理的内容在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即==.sinaA正弦定理适用于任意三角形,即不论是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都可应用正弦定理来求解.正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式,正弦定理中的比值是一个定值,该定值的几何意义为三角形外接圆的直径.正弦定理的关系式是分子为边长,分母为该边所对角的正弦的分式连等式,实际上是三个边角关系式:sinaA=sinbB,sinaA=sincC,sinbB=sincC.sinbBsincC2.正弦定理的推广及其变形(1)正弦定理比例式的意义:设△ABC外接圆的半径为R,则sinaA=sinbB=sincC=2R.这一结论对任意三角形都成立.(2)正弦定理的常见变形:边化角公式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC角化边公式sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR变式1a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC变式2sinaA=sinbB=sincC=sinsinsinabcABC=2R变式3asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB自我检测1.在△ABC中,一定成立的等式是()(A)asinA=bsinB(B)acosA=bcosB(C)asinB=bsinA(D)acosB=bcosA2.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶5,则△ABC是()(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形CA3.在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,则()C(A)B=45°或135°(B)B=135°(C)B=45°(D)B=60°或120°解析:由正弦定理得sinaA=sinbB,所以sinB=sinbAa=42sin6043=22,所以B=45°或135°.又ba,所以B=45°,故选C.4.在△ABC中,若sinAa=cosBb,则B的值为()B(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:根据正弦定理知sinAa=sinBb,结合已知条件可得sinB=cosB,又0°B180°,所以B=45°.故选B.5.在△ABC中,已知a=2,∠A=120°,则其外接圆的半径R=.解析:因为2R=sinaA=2sin120=433,所以R=233.答案:233题型一已知两角及一边解三角形课堂探究【例1】(1)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,c.解:(1)A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.由sinaA=sincC得,c=sinsinaCA=8sin75sin45=268422=4(3+1).所以A=45°,c=4(3+1).(2)在△ABC中,A=30°,C=105°,a=10,求b,c.解:(2)A=30°,C=105°,所以B=45°.因为sinaA=sinbB=sincC,所以b=sinsinaBA=10sin45sin30=102,c=sinsinaCA=10sin105sin30=52+56.所以b,c的长分别为102,52+56.方法技巧已知三角形的两角和任一边解三角形,基本思路是:(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,由三角形内角和定理求出第三个角.(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.即时训练1-1:(1)在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,求出其他边和角的大小.解:(1)根据三角形内角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°,根据正弦定理得:b=sinsinaBA=2sin30sin45=12222=2,c=sinsinaCA=2sin105sin45=2sin75sin45=622422=3+1.(2)已知在△ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B.解:(2)因为sinaA=sincC,所以a=sinsincAC=10sin45sin30=102.B=180°-(A+C)=180°-(45°+30°)=105°.又因为sinbB=sincC,所以b=sinsincBC=10sin105sin30=20sin75°=20×624=5(6+2).题型二已知两边及其中一边的对角解三角形【例2】(1)在△ABC中,A=π3,BC=3,AB=6,则角C等于()(A)π4或3π4(B)3π4(C)π4(D)π6(1)解析:由正弦定理,得sinC=sinAABBC=22,因为BCAB,所以AC,则0Cπ3,故C=π4.故选C.(2)在△ABC中,若c=,A=45°,a=2,求B,C,b.6(2)解:因为sinaA=sincC,所以sinC=sincAa=6sin452=32,所以C=60°或120°.当C=60°时,B=75°,b=sinsincBC=6sin75sin60=3+1.当C=120°时,B=15°,b=sinsincBC=6sin15sin120=3-1.所以b=3+1,B=75°,C=60°或b=3-1,B=15°,C=120°.误区警示已知三角形中的两边和其中一边的对角,解三角形时:(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.即时训练2-1:(1)在△ABC中,a=3,b=6,∠A=2π3,则∠B=.(1)解析:由正弦定理得sinaA=sinbB,得32πsin3=6sinB⇒sinB=22,因为ab,所以∠B=π4.答案:π4(2)解:由sinaA=sinbB,得sinB=sinbAa=32.因为ab,所以BA=30°,所以B为60°或120°.当B=60°时,C=180°-60°-30°=90°.此时,c=22ab=13=2.当B=120°时,C=180°-120°-30°=30°.此时,c=a=1.综上知c=1或2.(2)在△ABC中,a=1,b=,A=30°,求边c的长.3题型三利用正弦定理判断三角形的形状【例3】(1)已知方程x2-bcosA·x+acosB=0的两根之积等于两根之和,且a,b是△ABC的两边,角A,B为边a,b的对角.试判断△ABC的形状.解:(1)设x1,x2为已知方程的两实根,由韦达定理知x1+x2=bcosA,x1x2=acosB.依题设知bcosA=acosB.由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB.即sinAcosB-sinBcosA=0⇒sin(A-B)=0.因为A∈(0,π),B∈(0,π),所以A-B∈(-π,π),故A-B=0,得A=B,即△ABC为等腰三角形.(2)在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.解:(2)法一在△ABC中,根据正弦定理:sinaA=sinbB=sincC=2R(R为△ABC外接圆半径).因为sin2A=sin2B+sin2C,所以（2aR）2=（2bR）+（2cR）2,即a2=b2+c2.所以A=90°,所以B+C=90°.由sinA=2sinBcosC,得sin90°=2sinBcos(90°-B),所以sin2B=12.因为B是锐角,所以sinB=22.所以B=45°,C=45°.所以△ABC是等腰直角三角形.法二在△ABC中,根据正弦定理得sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR(R为△ABC外接圆半径).因为sin2A=sin2B+sin2C,所以a2=b2+c2,所以△ABC是直角三角形且A=90°.因为A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC,所以sin(B+C)=2sinBcosC.所以sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0,所以B-C=0,即B=C.所以△ABC是等腰直角三角形.方法技巧根据边角关系判断三角形形状的途径:①利用正弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解,配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;②利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个蕴含的结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.即时训练3-1:(1)在△ABC中,若a2tanB=b2tanA,则△ABC的形状为()(A)等腰三角形(B)等腰直角三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形(1)解析:由题得sin2A·sincosBB=sin2B·sincosAA,即sinAcosA=sinBcosB,且cosAcosB≠0,所以sin2A=sin2B,因为02A2π,02B2π,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=π2,则△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.(2)在△ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断△ABC的形状.(2)解:由已知有a2sin(A-B)+b2sin(A-B)=a2sin(A+B)-b2sin(A+B),即2a2cosAsinB-2b2cosBsinA=0,所以a2cosAsinB-b2sinAcosB=0.由正弦定理,上式可化为sin2AcosAsinB-sin2BsinAcosB=0,即sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,因为sinA≠0,sinB≠0,所以sinAcosA-sinBcosB=0,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.π2