2019年高中数学 第一章 常用逻辑用语章末总结课件 新人教A版选修2-1

章末总结网络建构主题串讲一、命题的关系及其真假的判定【典例1】有下列四个命题:①若“xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题;③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.其中真命题为()(A)①②(B)②③(C)①④(D)①②③解析:①的逆命题:“若x,y互为倒数,则xy=1”是真命题;②的否命题:“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题;③的逆否命题:“若x2-2x+m=0没有实数解,则m1”是真命题;命题④是假命题,所以它的逆否命题也是假命题.故选D.规律方法(1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.解析:(1)否命题,条件和结论都否定.命题“若x0,则x20”的条件是“x0”,结论是“x20”,故其否命题是“若x≤0,则x2≤0”.故选C.即时训练1-1:(1)命题“若x0,则x20”的否命题是()(A)若x0,则x2≤0(B)若x20,则x0(C)若x≤0,则x2≤0(D)若x2≤0,则x≤0解析:(2)将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由x=y=0知x=0且y=0,其否定是x≠0或y≠0.故原命题的逆否命题是“若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0”.故选D.(2)命题“若x2+y2=0,x,y∈R,则x=y=0”的逆否命题是()(A)若x≠y≠0,x,y∈R,则x2+y2=0(B)若x=y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0(C)若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0(D)若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0二、充分必要条件的判定【典例2】(2017·浙江平阳二中高二期中)已知b是实数,则“b=2”是“3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切”的()(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,则圆心为(1,1),半径R=1,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离d=223434b=75b=1,即|b-7|=5,则b-7=5或b-7=-5,则b=12或b=2,即“b=2”是“3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切”的充分不必要条件.故选B.规律方法判断充分必要条件时关键是要分清命题的条件与结论,如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的特例来说明.即时训练2-1:(1)“x1”是“log2(x-1)0”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:(1)由log2(x-1)0得0x-11,即1x2,故“x1”是“log2(x-1)0”的必要不充分条件.故选B.(2)“已知命题p:cosα≠12,命题q:α≠π3”,则命题p是命题q的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:(2)若cosα≠12,则α≠2kπ±π3(k∈Z),则α也必然不等于π3,故p⇒q;若α≠π3,但α=-π3时,依然有cosα=12,故pp.所以p是q的充分不必要条件.故选A.三、分类讨论思想【典例3】已知全集U=R,非空集合A={x|231xxa0},B={x|22xaxa0},(1)当a=12时,求(∁UB)∩A;解:(1)A=(12,2),B=(12,94),(∁UB)∩A=.解:(2)因为a2+2a,所以B={x|axa2+2}.因为q是p的必要条件,所以A⊆B.①当3a-1=2,即a=1时,A=,不符合题意;②当3a-12,即a1时,A={x|2x3a-1},要使A⊆B,需要21,2,312,aaaa所以1a≤2.③当3a-12,即a1时,A={x|3a-1x2},要使A⊆B,需要21,31,22,aaaa所以12≤a1.综上所述,实数a的取值范围是[12,1)∪(1,2].(2)命题p:x∈A,命题q:x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.即时训练3-1:已知条件p:41x≤-1,条件q:x2+xa2-a,且p是q的一个必要不充分条件,求实数a的取值范围.解:由41x≤-1解得p:-3≤x1,由x2+xa2-a得(x+a)[x-(a-1)]0,当a=12时,可得q:不等式无解,符合题意;当a12时,可得q:(a-1,-a);(a-1,-a)[-3,1)得a∈[-1,12],当a12时,(-a,a-1)⊈[-3,1)得a∈(12,2].综上,a∈[-1,2].四、等价转化思想【典例4】设集合A={x|-x2+x+6≤0},关于x的不等式x2-ax-2a20的解集为B(其中a0).(1)求集合B;解:(1)x2-ax-2a20⇔(x-2a)(x+a)0,解得x-a或x2a.故集合B={x|x-a或x2a}(a0).解:(2)法一若﹁p是﹁q的必要不充分条件,则﹁q⇒﹁p,但﹁p﹁q,由此可得p⇒q,但qp,所以AB.而A={x|x2-x-6≥0}={x|(x-3)(x+2)≥0}={x|x≥3或x≤-2}.所以3,22aa⇒a-1.即a的取值范围为(-1,+∞).法二A={x|x≥3或x≤-2},∁UA={x|-2x3},而∁UB={x|2a≤x≤-a},由﹁p是﹁q的必要不充分条件,可得﹁q⇒﹁p,但﹁p﹁q,也即∁UB∁UA,所以22,3aa⇒a-1.即a的取值范围为(-1,+∞).(2)设p:x∈A,q:x∈B,且﹁p是﹁q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.规律方法本题通过“﹁q⇒﹁p”(若﹁q则﹁p)得到p⇒q(若p则q),用到了等价转化的思想,利用命题的等价性解题,在求一些参数的范围问题时,显得简单快捷.即时训练4-1:已知函数f(x)=x2,g(x)=(12)x-m,若对∀x1∈[-1,3],∃x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.解析:由题∀x1∈[-1,3],∃x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2),即0≥14-m,即m≥14.答案:[14,+∞)五、易错疑误辨析1.不能准确判断充要条件【典例5】判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件.条件p:ax2+ax+10的解集是R.结论q:0a4.错解:因为当0a4时,Δ0,所以当0a4时,ax2+ax+10恒成立,故q⇒p.当ax2+ax+10的解集是R时,有0a4,所以p是q的充要条件.错因分析:此类题目的易错点是在用定义判断时,忽略了无论是p⇒q,还是q⇒p,均要认真考虑是否有反例,这一点往往是判断充分性和必要性的关键和难点.题中,根据一元二次不等式的解法考虑此题,忽略了a=0时原不等式变为10这一绝对不等式的情况.正解:因为0a4时,Δ0,所以当0a4时,ax2+ax+10恒成立,故q⇒p.而当a=0时,ax2+ax+10恒成立,所以pq.所以p是q的必要不充分条件.【典例6】已知p:212xx0,求﹁p对应的x的取值集合.2.对命题的否定不全面错解:由p:212xx0得﹁p:212xx≤0.所以-1x2.即﹁p:{x|-1x2}.错因分析:本例中容易出现由p:212xx0得﹁p:212xx≤0的错误.可以在解题时应先求出满足p的x的取值集合,再求其补集.正解:由p:212xx0得p:x2或x-1,所以﹁p:-1≤x≤2.即﹁p:{x|-1≤x≤2}.真题体验1.(2017·北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n0”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若λ0,不妨取λ=-1,则m=λn表示非零向量m,n反向共线,必有m·n0;反之,若m·n0,非零向量m,n不一定反向共线(可能夹角为钝角),也就是不一定有m=λn,所以“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n0”的充分而不必要条件,故选A.A2.(2017·天津卷)设θ∈R,则“|θ-π12|π12”是“sinθ12”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为|θ-π12|π12,所以-π12θ-π12π12,即0θπ6.显然0θπ6时,sinθ12成立.但sinθ12时,由周期函数的性质知0θπ6不一定成立.故0θπ6是sinθ12的充分而不必要条件.故选A.AB3.(2017·天津卷)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为2-x≥0,所以x≤2.因为|x-1|≤1,所以0≤x≤2.因为当x≤2时不一定有x≥0,当0≤x≤2时一定有x≤2,所以“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.故选B.C4.(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为S4+S62S5⇔S4+S4+a5+a62(S4+a5)⇔a6a5⇔a5+da5⇔d0,所以“d0”是“S4+S62S5”的充分必要条件.故选C.5.(2017·北京卷)能够说明“设a,b,c是任意实数.若abc,则a+bc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.解析:所求问题就是找出一组整数a,b,c,使得若abc,则a+b≤c,显然只有在负整数中找(因为正整数越加越大),从最大的负整数考虑,a=-1,b=-2,c=-3,则满足.(注:本题答案不唯一)答案:-1,-2,-3(答案不唯一)