2019年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件课件

1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件课标要求:1.理解充分、必要、充要条件的意义.2.会判断条件与结论之间的充分(必要、充要)性.自主学习1.充分条件与必要条件一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.知识探究注意:(1)对于命题“若p,则q”的条件和结论,我们都视为条件,只看“⇒”的推出方向,“箭尾”是“箭头”的充分条件,“箭头”是“箭尾”的必要条件.(2)若p⇒q,则p是q的充分条件,所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.(3)若p⇒q,则q是p的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”.(4)p是q的充分条件反映了p⇒q,而q是p的必要条件同样反映了p⇒q,这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一逻辑关系,只是说法不同.(5)如果“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作pq.此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.2.充要条件一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.注意:(1)充要条件的含义:若p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.虽然它们本质上是一样的,但是说法上不同,因为这两个命题的条件与结论不同.(2)p是q的充要条件又常说成是q当且仅当p,或p与q等价.(3)设原命题为“若p,则q”,则逆命题为“若q,则p”,得p与q的关系有以下四种情形:原命题逆命题p与q的关系结论真假p⇒q,但qpp是q的充分不必要条件;q是p的必要不充分条件假真q⇒p,但pqp是q的必要不充分条件;q是p的充分不必要条件真真p⇒q且q⇒p,即p⇔qp与q互为充要条件假假pq且qpp是q的既不充分也不必要条件;q是p的既不充分也不必要条件3.从集合角度看充分、必要条件(1)依据设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}.若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.若A⊆B,就是说x具有性质p,则x必具有性质q,即p⇒q.类似地,B⊆A与q⇒p等价,A=B与p⇔q等价.(2)结论如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表.当所要研究的p,q含有变量,即涉及方程的解集、不等式的解集,或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系,利用Venn图或数轴解题.记法A={x|p(x)},B={x|q(x)}关系ABBAA=BA⊈B且B⊈A图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p,q互为充要条件p是q的既不充分也不必要条件自我检测A1.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的()(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:由正弦定理sinaA=sinbB=2R(R为三角形外接圆半径),得a=2RsinA,b=2RsinB.故a≤b⇔2RsinA≤2RsinB⇔sinA≤sinB.故选A.C2.设命题甲:ax2+2ax+10的解集是实数集R,命题乙:0a1,则命题甲是命题乙成立的()(A)充分不必要条件(B)充要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件3.“直线a2x-y+6=0与直线4x-(a-3)y+9=0互相垂直”的充要条件是..答案:a=或a=-1344.若“xm”是“(x-1)(x-2)0”的充分不必要条件,则m的取值范围为.解析:由(x-1)(x-2)0可得x2或x1,由已知条件知{x|xm}{x|x2或x1},所以m≤1.答案:(-∞,1]题型一充分、必要、充要条件的判断课堂探究【例1】(1)(2015·天津卷)设x∈R,则“|x-2|1”是“x2+x-20”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:(1)|x-2|1⇔-1x-21⇔1x3;x2+x-20⇔x-2或x1.由于(1,3)(-∞,-2)∪(1,+∞),所以“|x-2|1”是“x2+x-20”的充分而不必要条件.故选A.答案:(1)A(2)(2015·安徽卷)设p:1x2,q:2x1,则p是q成立的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:(2)由2x1,得x0.因为{x|1x2}{x|x0},所以p是q成立的充分不必要条件.故选A.答案:(2)A(3)已知如下三个命题中:①若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件;②对于实数a,b,c,“ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件;③直线l1:ax+y=3,l2:x+by-c=0.则“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件;④“m-2或m6”是“y=x2+mx+m+3有两个不同零点”的充要条件.正确的结论是.②因为abac2bc2(c=0),但ac2bc2⇒ab.所以“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件,②错.解析:(3)①中,当a=2时,有(a-1)(a-2)=0;但当(a-1)(a-2)=0时,a=1或a=2,不一定有a=2.所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件,①正确.③中,ab=1且ac=3时,l1与l2重合,但l1∥l2⇒1a=1b,即ab=1,所以“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件,③正确.④中,y=x2+mx+m+3有两个不同零点⇔Δ=m2-4(m+3)0⇔m-2或m6.所以是充要条件,④正确.答案:(3)①③④方法技巧充分、必要、充要条件的判断方法若p⇒q,qp,则p是q的充分不必要条件;若pq,q⇒p,则p是q的必要不充分条件;若p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件;若pq,qp,则p是q的既不充分也不必要条件.解析:(1)若a,b相交,则α,β一定相交;若α,β相交,则不能得出a,b相交.故选A.即时训练1-1:(1)(2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(2)(2015·陕西卷)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:(2)因为cos2α=cos2α-sin2α,所以当sinα=cosα时,cos2α=0,充分性成立,当cos2α=0时,因为cos2α-sin2α=0,所以cosα=sinα或cosα=-sinα,必要性不成立.故选A.(3)指出下列命题中,p是q的什么条件?①p:x2=2x+1,q:x=21x;②p:a2+b2=0,q:a+b=0;③p:x=1或x=2,q:x-1=1x;④p:sinαsinβ,q:αβ.(3)解:①因为x2=2x+1x=21x,x=21x⇒x2=2x+1,所以p是q的必要不充分条件.②因为a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0,a+b=0a2+b2=0,所以p是q的充分不必要条件.③因为当x=1或x=2成立时,可得x-1=1x成立,反过来,当x-1=1x成立时,可以推出x=1或x=2,所以p既是q的充分条件也是q的必要条件.④由sinαsinβ不能推出αβ,反过来由αβ也不能推出sinαsinβ,所以p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.题型二充要条件的证明【例2】(1)求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0;证明:(1)①必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,所以Δ=b2-4ac0,x1x2=ca0(x1,x2为方程的两根),所以ac0.②充分性:由ac0可推得Δ=b2-4ac0及x1x2=ca0(x1,x2为方程的两根).所以方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.(2)求证:方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根均大于1的充要条件是k-2.证明:(2)必要性:若方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根,不妨设两个根为x1,x2,则221212(21)40,(1)(1)0,(1)(1)0kkxxxx⇒1212121,4()20,()10,kxxxxxx即21,4(21)20,(21)10,kkkk解得k-2.充分性:当k-2时,Δ=(2k-1)2-4k2=1-4k0.设方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根为x1,x2.则(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=k2+2k-1+1=k(k+2)0.又(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=-(2k-1)-2=-2k-10,所以x1-10,x2-10.所以x11,x21.综上可知,方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根的充要条件为k-2.一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q.方法技巧即时训练2-1:(1)已知x,y都是非零实数,且xy,求证:1x1y的充要条件是xy0;证明:(1)①必要性:由1x1y,得1x-1y0,即yxxy0,又由xy,得y-x0,所以xy0.②充分性:由xy0及xy,得xxyyxy,即1x1y.综上所述,1x1y的充要条件是xy0.证明:(2)(充分性)当q=-1时,a1=S1=p-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),且n=1时也成立.于是1nnaa=1(1)(1)nnpppp=p(p≠0且p≠1),即{an}为等比数列.(必要性)当n=1时,a1=S1=p+q;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).因为p≠0且p≠1,所以当n≥2时,1nnaa=1(1)(1)nnpppp=p,可知等比数列{an}的公比为p.故21aa=(1)pppq=p,即p-1=p+q,求得q=-1.综上可知,q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件.(2)已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.充分、必要、充要条件的应用题型三【例3】已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.规范解答:p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m0).因为p是q的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件,即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},故有12110mm或12,110,mm解得m≤3.又m0,所以实数m的取值范围为{m|0m≤3}.变式探究1:若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解:p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m0).因为p是q的充分不必要条件,设p代表的集合为A,q代表的集合为B,所以AB.所以12110mm或12,110.mm解不等式组得m9或m≥9,所以