2019年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系课件

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课标要求:1.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题.2.能够把一个“若p,则q”形式的命题熟练地写出其逆命题、否命题和逆否命题.3.掌握四种命题之间的关系及真假性之间的联系,会利用命题的等价性解决问题.自主学习1.互逆命题对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.2.互否命题对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的.和,我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命题.知识探究结论和条件条件的否定结论的否定3.互为逆否命题对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的.和,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题.用p和q分别表示原命题的条件和结论,用﹁p(读作“非p”)和﹁q(读作“非q”)分别表示p和q的否定,于是四种命题的形式就是:名称形式原命题若p,则q逆命题若q,则p(交换原命题的条件和结论)否命题若﹁p,则﹁q(同时否定原命题的条件和结论)逆否命题若﹁q,则﹁p(同时否定原命题的条件和结论后,再交换)结论的否定条件的否定注意:(1)“逆命题、否命题、逆否命题”都是相对于原命题而言的,都是相对概念,如命题“若x≠2,则x2≠4”相对于命题“若x=2,则x2=4”是否命题,而相对于命题“若x2=4,则x=2”则是逆否命题;(2)互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两个命题之间的关系,把其中一个命题叫做原命题时,另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题,即要充分理解“互为”的相对性;(3)不是“若p,则q”形式的命题,最好先改写成“若p,则q”的形式,然后讨论其他三种命题,这样容易分清条件和结论.4.四种命题间的相互关系原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示.5.四种命题的真假性之间的关系四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况:由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此这四种命题的真假性之间的关系如下:(1)两个命题互为逆否命题,它们有;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的.原命题真真假假逆命题真假真假否命题真假真假逆否命题真真假假相同的真假性真假性没有关系注意:四种命题中真命题个数的探究因为原命题与逆否命题有相同的真假性,逆命题与否命题有相同真假性,所以四种命题中真命题的个数一定为偶数,即真命题的个数只可能为0,2,4.说明:根据四种命题中真命题的个数只可能为0,2,4,可以检验写出的逆命题、否命题、逆否命题是否正确.自我检测B1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()(A)若一个数是负数,则它的平方不是正数(B)若一个数的平方是正数,则它是负数(C)若一个数不是负数,则它的平方不是正数(D)若一个数的平方不是正数,则它不是负数2.已知a,b∈R,命题“若a+b=1,则a2+b2≥12”的否命题是()(A)若a2+b212,则a+b≠1(B)若a+b=1,则a2+b212(C)若a+b≠1,则a2+b212(D)若a2+b2≥12,则a+b=1C3.命题“a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是()(A)若a,b都不是奇数,则a+b是偶数(B)若a+b是奇数,则a,b都是偶数(C)若a+b不是偶数,则a,b都不是奇数(D)若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数4.命题“若x1,则x0”的逆命题是,逆否命题是.答案:若x0,则x1若x≤0,则x≤1D5.在原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为.解析:逆命题为“若A∩B≠A,则A∪B≠B”;否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”;逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”;全为真命题.答案:4题型一四种命题的概念课堂探究【例1】把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)全等三角形的对应边相等;解:(1)原命题:若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等;逆命题:若两个三角形三边对应相等,则这两个三角形全等;否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形三边对应不相等;逆否命题:若两个三角形三边对应不相等,则这两个三角形不全等.(2)当x=2时,x2-3x+2=0;(3)正数a的平方根不等于0.解:(2)原命题:若x=2,则x2-3x+2=0;逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2;否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0;逆否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2.(3)原命题:若a是正数,则a的平方根不等于0.逆命题:若a的平方根不等于0,则a是正数.否命题:若a不是正数,则a的平方根等于0.逆否命题:若a的平方根等于0,则a不是正数.方法技巧(1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件和结论同时否定即得否命题,将条件和结论互换的同时,进行否定即得逆否命题.(2)如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意各命题中的大前提不变.解:(1)改写成“若一个数是无理数,则它的平方是有理数”.逆命题:若一个数的平方是有理数,则它是无理数.否命题:若一个数不是无理数,则它的平方不是有理数.逆否命题:若一个数的平方不是有理数,则它不是无理数.(2)逆命题:若x=2或x=-3,则x2+x-6=0.否命题:若x2+x-6≠0,则x≠2且x≠-3.逆否命题:若x≠2且x≠-3,则x2+x-6≠0.即时训练1-1:写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.(1)无理数的平方是有理数;(2)当x2+x-6=0时,x=2或x=-3;(3)垂直于同一平面的两直线平行;(4)若m·n0,则方程mx2-x+n=0有实数根.解:(3)逆命题:如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一个平面.否命题:如果两条直线不垂直于同一平面,那么这两条直线不平行.逆否命题:如果两条直线不平行,那么这两条直线不垂直于同一平面.(4)逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则m·n0.否命题:若m·n≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根.逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则m·n≥0.题型二四种命题的关系及其真假判断【例2】判断下列命题的真假.(1)“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;(2)“正三角形都相似”的逆命题;(3)“若m0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;解:(1)原命题的否命题为“若x2+y2=0,则x,y全为零”.真命题.(2)原命题的逆命题为“若三角形相似,则这些三角形是正三角形”.假命题.(3)原命题的逆否命题为“若x2+x-m=0无实根,则m≤0”.因为方程x2+x-m=0无实根,所以判别式Δ=1+4m0,解得m-14,故m≤0,为真命题.(4)“若m0,则x2+x-m=0有实根”的逆命题;(5)“若m0,则mx2+x-1=0有实根”的逆否命题.解:(4)原命题的逆命题为“若x2+x-m=0有实根,则m0”.因为方程x2+x-m=0有实根,所以判别式Δ=1+4m≥0,所以m≥-14,故逆命题为假命题.(5)原命题的逆否命题为“若mx2+x-1=0无实根,则m≤0”.因为方程mx2+x-1=0无实根,则m≠0,所以判别式Δ=1+4m0,则m-14,故m≤0,为真命题.解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念,原命题与它的逆否命题同真同假,原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题,同真同假,故只判断两者中的一个即可.方法技巧即时训练2-1:(1)设m,n是向量,命题“若m=n,则|m|=|n|”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中,真命题的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)4解析:(1)法一原命题为真命题.逆命题:“若|m|=|n|,则m=n”为假命题,否命题:“若m≠n,则|m|≠|n|”为假命题.逆否命题:“若|m|≠|n|,则m≠n”为真命题.故四个命题中,真命题的个数是2.故选C.法二原命题为真命题,则其逆否命题也为真命题.逆命题:“若|m|=|n|,则m=n”为假命题,则否命题也为假命题.故四个命题中,真命题的个数是2.故选C.(2)原命题为“若12nnaaan,n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()(A)真,真,真(B)假,假,真(C)真,真,假(D)假,假,假解析:(2)由12nnaaan,得an+an+12an,即an+1an,所以当12nnaaan时,必有an+1an,则{an}是递减数列;反之,若{an}是递减数列,必有an+1an,从而有12nnaaan.所以原命题及其逆命题均为真命题,从而其否命题及其逆否命题也均为真命题.故选A.等价命题的应用题型三【例3】(12分)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).”写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论.规范解答:逆命题:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.为真命题.2分由于逆命题与否命题具有相同的真假性,因此可转化为证明其否命题为真,即证明“若a+b0,则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”为真命题.………………4分因为a+b0,则a-b,b-a.因为f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,则f(a)f(-b),f(b)f(-a),所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).因此否命题为真命题,即逆命题为真命题.………………………………12分变式探究:写出本例中命题的逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.解:逆否命题:若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0.为真命题.因为一个命题的真假性与它的逆否命题的真假性相同,所以可证明原命题为真命题.因为a+b≥0,所以a≥-b,b≥-a.又因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).所以逆否命题为真命题.方法技巧直接证明困难时,命题是否定的形式或不等式的形式时,常常考虑用证明逆否命题的方法来证明.即时训练3-1:判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集是空集,则a2”的逆否命题的真假.解:法一原命题的逆否命题为“已知a,x为实数,若a≥2,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”.判断真假如下:抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7,因为a≥2,所以4a-70,即抛物线与x轴有交点,所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,故原命题的逆否命题为真.法二先判断原命题的真假如下:因为a,x为实数,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70.所以a742.所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假,所以原命题的逆否命题为真命题.