2019年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换（一）课件 新人教A版必修4

3.2简单的三角恒等变换(一)课标要求:1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简及证明.(1)cos2α=1-2sin2αcosα=1-2sin22sin2=±1cos2.自主学习1.半角公式的推导知识探究(2)cos2α=2cos2α-1cosα=2cos22-1cos2=±1cos2.(3)tan2=sin2cos2=±1cos1cos.tan2=sin2cos2=22sincos222cos2=sin1cos,tan2=sin2cos2=22sin22sincos22=1cossin,即tan2=sin1cos=1cossin.2.半角公式的切化弦asinx+bcosx=22ab(22aabsinx+22babcosx),令cos=22aab,sin=22bab,则asinx+bcosx=22ab(sinxcos+cosxsin)=22absin(x+),其中角所在象限由a,b的符号确定,角的值由sin=22bab和cos=22aab共同确定.3.辅助角公式的推导4.常见辅助角结论(1)sinx±cosx=2sin(x±π4);(2)cosx±sinx=2cos(x∓π4);(3)sinx±3cosx=2sin(x±π3);(4)cosx±3sinx=2cos(x∓π3);(5)3sinx±cosx=2sin(x±π6);(6)3cosx±sinx=2cos(x∓π6).1.下列公式正确的是()(A)sin15°=±1cos302(B)cos15°=1cos302(C)tan2=1cossin(D)sin2=12sinα对任意α∈R都不成立自我检测B2.已知2sinθ=1+cosθ,则tan2的值为()(A)2(B)12(C)12或不存在(D)2或0C解析:若1+cosθ≠0,则tan2=sin1cos=12.若1+cosθ=0,即cosθ=-1,所以θ=2kx+π(k∈Z),所以tan2不存在.3.已知tanθ=3,则sin2θ-cos2θ的值是()(A)75(B)12(C)-75(D)32解析:sin2θ-cos2θ=222sincossincos-2222cossinsincos=22sin1tan-221tan1tan=2319-1919=610+810=75.A4.已知sinα=45,且α为锐角,则cos2=.答案:2555.若函数y=3sinx+4cosx=Asin(x+),则A=,sin=,cos=,tan=.答案:5453543题型一半角公式的直接应用课堂探究解:因为πα3π2,sinα=-45,所以cosα=-35,且π223π4,所以sin2=1cos2=255,cos2=-1cos2=-55,tan2=sin2cos2=-2.【例1】已知sinα=-45,πα3π2,求sin2,cos2,tan2的值.方法总结已知三角函数的值求值的一般思路(1)先化简已知或所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.(4)本题中由于α范围确定,因此2的三角函数值的符号是确定的,不需讨论其正、负号的取舍.(5)本题中若只是求tan2,则由sinα求出cosα后,利用tan2=sin1cos求解较为简单.解:因为|cosθ|=35,5π2θ3π,所以cosθ=-35,5π423π2.所以sin2=-1cos2=-3152=-255,cos2=-1cos2=-3152=-55,所以tan2=sin2cos2=2.即时训练1-1:已知|cosθ|=35,且5π2θ3π,求sin2,cos2,tan2的值.题型二三角函数式的化简求值【例2】(1)化简222cos1ππ2tansin44=.解析:(1)222cos1ππ2tansin44=2cos2π2cosπ4sinπ4sin4=cos2πsin22=cos2cos2=1.答案:(1)1解析:(2)原式=cos103sin10sin10cos10=134cos10sin10222sin10cos10=4sin30cos10cos30sin10sin20=4sin3010sin20=4.(2)1sin10-3sin80的值为.答案:(2)4方法技巧三角函数式化简原则和方法(1)三角函数式化简的一般原则:①能求值的应求出值;②三角函数种数尽量少;③项数尽量少;④分母中尽量不含三角函数;⑤次数尽量低.(2)三角函数式化简的常用方法:①降幂化倍角;②升幂角减半.(3)利用辅助角公式asinx+bcosx=22absin(x+),其中tan=ba(或asinx+bcosx=22abcos(x-),其中tan=ab),将形如asinx+bcosx(a,b不同时为零)的三角函数式写成一个角的某个函数值.即时训练2-1:(1)22cos8+21cos8的化简结果是.解析:(1)原式=2212cos41+22112sin4=2|cos4|+22|sin4|=-2cos4-22sin4.答案:(1)-2cos4-22sin4解析:(2)4cos50°-tan40°=4sin40°-sin40cos40=4sin40cos40sin40cos40=2sin80sin40cos40=2cos10sin40cos40(2)化简4cos50°-tan40°等于.=2cos10sin3010cos40=33cos10sin1022cos40=3cos30cos10sin30sin10cos40=3cos40cos40=3.答案:(2)3题型三三角恒等式的证明证明:左边=2222sincos2sincos222212cos1112sin22+2222sincos2sincos222212cos1112sin22=2sincos222cossin22+2sincos222cossin22,【例3】若πα3π2,证明:1sin1cos1cos+1sin1cos1cos=-2cos2.因为πα3π2,所以π223π4,所以sin20cos2.所以左边=2sincos222cossin22+2sincos222cossin22=-12(sin2+cos2)+12(sin2-cos2)=-2cos2=右边.所以原等式成立.方法技巧三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构,从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手,寻求证明途径,左右归一;或消除等式两端的差异,达到形式上的统一.即时训练3-1:求证:2cos1tan2tan2=14sin2α.证明:法一左边=2coscossin22sincos22=222cossincos22cossin22=2cossincos22cos=cosαsin2cos2=12sinαcosα=14sin2α=右边.所以原式成立.法二左边=22costan21tan2=12cos2α·22tan21tan2=12cos2αtanα=12cosαsinα=14sin2α=右边.所以原式成立.