2019年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换（二）课件 新人教A版必修4

3.2简单的三角恒等变换(二)课标要求:掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用.1.函数y=cosx+cos(x+π3)的最大值是()(A)2(B)3(C)32(D)33自我检测B自主学习2.若a=(cos20°,sin20°),b=(cos10°,sin190°),则a·b等于()(A)12(B)32(C)cos10°(D)22B3.已知函数f(x)=asinx+cosx(a为常数,x∈R)的图象关于直线x=π6对称,则函数g(x)=sinx+acosx的图象()(A)关于点(π3,0)对称(B)关于点(2π3,0)对称(C)关于直线x=π3对称(D)关于直线x=π6对称C4.22cos8+21sin8的化简结果是.解析:原式=24cos4+212sin4cos4=2|cos4|+22sin4cos4=2|cos4|+2|sin4-cos4|.因为5π443π2,所以cos40,sin4cos40,所以sin4-cos40.从而原式=-2cos4-2sin4+2cos4=-2sin4.答案:-2sin45.函数y=sin(x+π3)sin(x+π2)的最小正周期T=.解析:y=sin(x+π3)sin(x+π2)=sin(x+π3)cosx=12sinx·cosx+32cos2x=14sin2x+34(1+cos2x)=12sin(2x+π3)+34.所以T=2π2=π.答案:π题型一三角恒等变换与平面向量知识的综合课堂探究解:(1)因为a=(1+sin2x,sinx-cosx),b=(1,sinx+cosx),所以f(x)=1+sin2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=2sin(2x-π4)+1.因此,当2x-π4=2kπ+π2,即x=kπ+3π8(k∈Z)时,f(x)取得最大值2+1.【例1】已知向量a=(1+sin2x,sinx-cosx),b=(1,sinx+cosx),函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最大值及相应的x值;解:(2)由f(θ)=1+sin2θ-cos2θ及f(θ)=85,得sin2θ-cos2θ=35,两边平方得1-sin4θ=925,即sin4θ=1625.因此,cos2(π4-2θ)=cos(π2-4θ)=sin4θ=1625.(2)若f(θ)=85,求cos2(π4-2θ)的值.方法技巧此类题的主要考查方式有两种:(1)三角函数与向量的数量积直接联系;(2)利用三角函数与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合.解答此类问题时应熟练掌握向量数量积运算的坐标表示,熟练运用向量平行、垂直的坐标运算将向量问题转化为三角函数式,再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简求值等.即时训练1-1:已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),x∈R,函数f(x)=a·(b-c).(1)求函数f(x)的单调递减区间;解:(1)因为a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),所以b-c=(sinx+cosx,sinx-cosx),f(x)=a·(b-c)=sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx)=sin2x+2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=2sin(2x-π4).则当2kπ+π2≤2x-π4≤2kπ+3π2,k∈Z,即kπ+3π8≤x≤kπ+7π8,k∈Z时,函数f(x)为减函数.所以函数f(x)的单调递减区间是[kπ+3π8,kπ+7π8],k∈Z.解:(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x-π4),又f(2)=22,则2sin(α-π4)=22,sin(α-π4)=12.因为sin2(α-π4)+cos2(α-π4)=1,所以cos(α-π4)=±32.又sinα=sin[(α-π4)+π4]=sin(α-π4)cosπ4+cos(α-π4)sinπ4,(2)若f(2)=22,求sinα的值.所以当cos(α-π4)=32时,sinα=12×22+32×22=264;当cos(α-π4)=-32时,sinα=12×22-32×22=264.题型二三角恒等变换与三角函数的综合【例2】已知函数f(x)=sin2x+23sinxcosx+3cos2x,x∈R,(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;解:(1)f(x)=1cos22x+3sin2x+31cos22x=2+3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)+2,所以最小正周期T=2π2=π.因为-π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z时,f(x)为单调递增函数,所以f(x)的单调递增区间为[kπ-π3,kπ+π6],k∈Z.解:(2)由(1)知f(x)=2+2sin(2x+π6),由于-π6≤x≤π3,所以2x+π6∈[-π6,5π6],所以sin(2x+π6)∈[-12,1],所以f(x)∈[1,4],所以f(x)在区间[-π6,π3]上的值域为[1,4].(2)求函数f(x)在区间[-π6,π3]上的值域.题后反思函数的解析式的次数可以降低,项数可以减少时,要先化简解析式成y=Asin(ωx+)+B的形式再研究其图象及性质.即时训练2-1:已知函数f(x)=3sin(ωx+)+2sin22x-1(ω0,0π)为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为π2.(1)当x∈[-π2,π4]时,求f(x)的单调递减区间;解:(1)由题意可得,f(x)=3sin(ωx+)-cos(ωx+)=2sin(ωx+-π6),因为相邻两对称轴间的距离为π2,所以T=π,ω=2,因为函数为奇函数,所以-π6=kπ,=π6+kπ,因为0π,所以=π6,函数为f(x)=2sin2x.要使x∈[-π2,π4]即2x∈[-π,π2]时f(x)单调递减,需满足-π≤2x≤-π2,即-π2≤x≤-π4,所以函数的递减区间为[-π2,-π4].(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度,再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈[-π12,π6]时,求函数g(x)的值域.解:(2)由题意可得,g(x)=2sin(4x-π3),因为x∈[-π12,π6],所以-2π3≤4x-π3≤π3,所以-1≤sin(4x-π3)≤32,g(x)∈[-2,3],即函数g(x)的值域为[-2,3].题型三三角恒等变换的实际应用【例3】点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP面积最大?解:如图所示.因为AB为直径,所以∠APB=90°,AB=1,∠PAB=α.则PA=cosα,PB=sinα.又PT为圆的切线,所以∠TPB=∠PAB=α,所以S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=12PA·PB+12PT·PB·sinα=12cosαsinα+12sin2α=14sin2α+14(1-cos2α)=14(sin2α-cos2α)+14=24sin(2α-π4)+14.因为0απ2,所以-π42α-π43π4.所以当2α-π4=π2,即α=3π8时,四边形ABTP面积最大.方法总结应用三角函数解决实际问题的策略一般情况下,引入恰当的辅助角,建立有关辅助角的三角函数表达式,并利用和、差、倍、半角公式进行化简整理.由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量,故求解时多注意分析题意,恰当引入,提高解题能力.即时训练3-1:某一扇形铁皮,半径长为1,圆心角为π3,今铁皮匠想从中剪下一个矩形ABCD,如图所示,设∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.解:在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα.在Rt△OAD中,DAOA=tanπ3=3,所以OA=33DA=33BC=33sinα.所以AB=OB-OA=cosα-33sinα.设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cosα-33sinα)sinα=sinα·cosα-33sin2α=12sin2α-36(1-cos2α)=12sin2α+36cos2α-36=33(32sin2α+12cos2α)-36=33sin(2α+π6)-36.因为0απ3,所以π62α+π65π6.所以当2α+π6=π2,即α=π6时,S最大,S最大值=33-36=36.