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3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课标要求:1.理解二倍角公式的推导.2.掌握二倍角公式及变形公式、并能用这些公式解决相关问题.记法公式推导S2αsin2α=S(α+β)S2αcos2α=C(α+β)C2αC2αcos2α==利用sin2α+cos2α=1消去sin2α或cos2αT2αtan2α=22tan1tanT(α+β)T2α自主学习二倍角公式知识探究2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α提示:倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如6α是3α的2倍,3α是32的2倍.这里蕴涵着换元思想.这就是说,“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间的关系的.探究:“倍角公式”中的“倍角”有什么含义?【拓展延伸】二倍角公式的变形应用(1)倍角公式的逆用①S2α:2sinαcosα=sin2α,sinα=sin22cos,cosα=sin22sin.③T2α:22tan1tan=tan2α,2tanα=tan2α(1-tan2α).②C2α:cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α.(2)配方变形1±sin2α=sin2α+cos2α±sin2α=(sinα±cosα)2.(3)因式分解变形cos2α=cos2α-sin2α=(cosα-sinα)(cosα+sinα).(4)升幂公式1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α.(5)降幂公式cos2α=1cos22;sin2α=1cos22;sinαcosα=12sin2α;tan2α=1cos21cos2.(6)三倍角公式①sin3α=3sinα-4sin3α;②cos3α=4cos3α-3cosα;③tan3α=323tantan13tan.(7)“万能公式”及其应用用正切来表示正弦、余弦的倍角公式,也叫“万能公式”,公式如下:①sin2α=2sinαcosα=222sincossincos=22tan1tan;即sin2α=22tan1tan.②cos2α=cos2α-sin2α=2222cossinsincos=221tan1tan,即cos2α=221tan1tan.2.下列各式的值为14的是()(A)2cos2π12-1(B)1-2sin275°(C)22tan22.51tan22.5(D)sin15°cos15°1.计算sin2π8-cos2π8的值是()(A)12(B)-12(C)22(D)-22自我检测DD3.若tanθ=-13,则cos2θ等于()(A)-45(B)-15(C)15(D)45D解析:由sinα=35,且α为第二象限角得cosα=-45,得tanα=-34,tan2α=22tan1tan=-247.4.已知α为第二象限角,sinα=35,则tan2α=.答案:-2475.若cos(π4-θ)cos(π4+θ)=26(0θπ2),则sin2θ=.解析:cos(π4-θ)cos(π4+θ)=cos[π2-(π4+θ)]cos(π4+θ)=sin(π4+θ)cos(π4+θ)=12sin[2(π4+θ)]=12sin(π2+2θ)=12cos2θ=26,所以cos2θ=23,02θπ,所以sin2θ=21cos2=73.答案:73题型一化简求值课堂探究解析:(1)原式=cosπ12sinπ12=12×2cosπ12sinπ12=12sinπ6=14.【例1】求下列各式的值:(1)cosπ12cos5π12=;答案:(1)14解析:(2)原式=12(1-2cos215°)=-12cos30°=-34.(2)12-cos215°=;答案:(2)-34解析:(3)原式=2tan30=23.(3)21tan15tan15=.答案:(3)23误区警示在化简求值时,一定要先变形化简后再求值,否则很容易出现错误.即时训练1-1:(1)已知sin(π4-x)=45,则sin2x等于;解析:(1)因为sin(π4-x)=45,所以22(cosx-sinx)=45,化简可得cosx-sinx=425,两边平方可得1-sin2x=3225,从而解得sin2x=-725.答案:(1)-725解析:(2)tanπ12-1πtan12=22ππsincos1212ππcossin1212=πcos61πsin26=-32×2×2=-23.答案:(2)-23(2)tanπ12-1πtan12=;(3)8sinπ48cosπ48cosπ24cosπ12=.解析:(3)原式=4sinπ24cosπ24cosπ12=2sinπ12cosπ12=sinπ6=12.答案:(3)12题型二条件求值【例2】(1)设α为锐角,若cos(α+π6)=45,则sin(2α+π12)的值为;解析:(1)因为α为锐角,所以α+π6∈(π6,2π3).又因为cos(α+π6)=45,所以sin(α+π6)=35,所以sin(2α+π3)=2sin(α+π6)cos(α+π6)=2425,Cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)-1=725,所以sin(2α+π12)=sin[(2α+π3)-π4]=sin(2α+π3)cosπ4-cos(2α+π3)sinπ4=2425×22-725×22=17250.答案:(1)17250解析:(2)因为0xπ4,所以0π4-xπ4.又因为sin(π4-x)=513,所以cos(π4-x)=1213.因为cos2x=sin(π2-2x)(2)已知sin(π4-x)=513,0xπ4,则cos2πcos4xx的值为.=2sin(π4-x)cos(π4-x)=2cos[π2-(π4-x)]cos(π4-x)=2cos(π4+x)cos(π4-x),所以cos2πcos4xx=2cos(π4-x)=2413.答案:(2)2413变式探究:例2中(2)的已知条件不变,求cos(2x+π4)的值.解:因为sin(π4-x)=513,且π4-x+π4+x=π2,所以cos(π4+x)=513,因为0xπ4,所以π4x+π4π2,所以sin(π4+x)=2π1cos4x=1213,cos2x=sin(2x+π2)=2sin(π4+x)cos(π4+x)=2×1213×513=120169,sin2x=21cos2x=21201169=119169,所以cos(2x+π4)=cos2xcosπ4-sin2xsinπ4=120169×22-119169×22=2338.方法技巧二倍角的灵活应用(1)解决给值求值问题的关键是找到已知角与未知角之间的关系并选择恰当的公式求解.(2)常见的变角技巧有:①x+π3=π2+(x-π6),②x-π6=-π2+(x+π3),③π4-x=π2-(π4+x),④x-π4=-π2+(x+π4),⑤π2-2x=2(π4-x).即时训练2-1:(1)已知角α顶点在原点,始边为x轴正半轴,终边与圆心在原点的单位圆交于点(m,3m),则sin2α等于()(A)±34(B)34(C)±32(D)32解析:(1)由题意得tanα=3,所以sin2α=2sinαcosα=222sincossincos=22tantan1=2331=32.故选D.答案:(1)D(2)已知tan(α+π4)=12,且-π2α0,则22sinsin2πcos4=.解析:(2)tan(α+π4)=tan11tan=12解得tanα=-13,因为-π2α0,所以sinα=-1010,所以22sinsin2πcos4=2sinsincos2cossin2=-255.答案:(2)-255题型三三角函数式的化简解:(1)因为πα32π,所以π2234π,所以1cos=2|cos2|=-2cos2,1cos=2|sin2|=2sin2,【例3】(1)已知πα32π,化简:1sin1cos1cos+1sin1cos1cos;所以1sin1cos1cos+1sin1cos1cos=1sin2cossin22+1sin2sincos22=2cossin222cossin22+2sincos222sincos22=-2cos2.解:(2)原式=sin50°×cos103sin10cos10=2sin50sin1030cos10=2sin50sin40cos10=2sin40cos40cos10=sin80cos10=1.(2)化简:sin50°(1+3tan10°).方法技巧(1)化简三角函数式,要根据函数式的结构特点来确定方法,一般情况下,无理式应化为有理式,能求出特殊值的,一定要求出数值来.(2)化简根式问题,主要目的是把被开方数化成完全平方式,从而进行平方,开方时要注意2a=|a|=,0,,0,aaaa所以一定要先判断a的正负.(3)化简三角函数式的常用方法①切化弦;②异名化同名;③异角化同角;④高次化低次.同时要注意相关三角函数公式的正用、逆用、变形用.即时训练3-1:化简:(1)1sin20+1sin20;解:(1)原式=22sin10cos102sin10cos10+22sin10cos102sin10cos10=2sin10cos10+2sin10cos10=|sin10°+cos10°|+|sin10°-cos10°|=sin10°+cos10°+cos10°-sin10°=2cos10°.(2)1sin4cos41sin4cos4.解:(2)原式=2212sin2cos22cos2112sin2cos22sin21=222cos22cos2sin22sin22sin2cos2=2cos2cos2sin22sin2sin2cos2=1tan2.