2019年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课标要求:1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式和两角和的余弦公式.2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征.3.能灵活运用公式进行化简和求值.自主学习1.两角和的余弦公式cos(α+β)=,简记为C(α+β).2.两角和与差的正弦公式S(α+β):sin(α+β)=;S(α-β):sin(α-β)=.3.两角和与差的正切公式T(α+β):tan(α+β)=;T(α-β):tan(α-β)=.知识探究cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβtantan1tantantantan1tantan【拓展延伸】(1)在两角和与差的正切公式中,角α,β,α+β,α-β均不等于kπ+π2(k∈Z),这是由正切函数的定义域决定的.(2)公式T(α-β)也可以这样推导:tan(α-β)=sincos=sincoscossincoscossinsin.若cosαcosβ≠0,则将上式的分子、分母都除以cosαcosβ,得tan(α-β)=tantan1tantan.(3)公式的结构特征及符号特征如下:①公式T(α±β)的右侧为分式形式,其中分子为tanα与tanβ的和或差,分母为1与tanαtanβ的差或和.②符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.2.已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,则cosαcosβ的值为()(A)0(B)45(C)0或45(D)0或±45自我检测A1.cos(x+2y)+2sin(x+y)siny可化简为()(A)cosx(B)sinx(C)cos(x+y)(D)cos(x-y)A3.已知tanα=12,tan(α-β)=-25,那么tan(β-2α)的值为()(A)-34(B)-112(C)-98(D)98B4.sin7cos15sin8cos7sin15sin8的值为.解析:原式=sin158cos15sin8cos158sin15sin8=sin15cos8cos15cos8=tan15°=tan(45°-30°)=tan45tan301tan45tan30=313313=2-3.答案:2-35.设a=2cos66°,b=cos5°-3sin5°,c=2(sin47°sin66°-sin24°sin43°),则a,b,c的大小关系是.解析:b=2cos65°,c=2(cos43°cos24°-sin24°sin43°)=2cos67°,所以bac.答案:bac题型一两角和与差的正弦、余弦课堂探究【例1】(1)cos105°;解:(1)原式=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=12×22-32×22=264.解:(2)原式=sin14°cos16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=12.(2)sin14°cos16°+sin76°cos74°;(3)sinπ12-3cosπ12.解:(3)法一原式=2(12sinπ12-32cosπ12)=2(sinπ6sinπ12-cosπ6cosπ12)=-2cos(π6+π12)=-2cosπ4=-2.法二原式=2(12sinπ12-32cosπ12)=2(cosπ3sinπ12-sinπ3cosπ12)=2sin(π12-π3)=-2sinπ4=-2.误区警示在利用诱导公式与和差角的正、余弦公式时一定要熟记公式并能灵活应用,特别是符号一定要准确,否则易出错.即时训练1-1:(1)sin20°cos10°-cos160°sin10°等于()(A)-32(B)32(C)-12(D)12解析:(1)原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12.故选D.解析:(2)因为sin47°=sin(17°+30°)=sin17°cos30°+cos17°sin30°,所以原式=cos17sin30cos17=sin30°=12.选C.(2)sin47sin17cos30cos17等于()(A)-32(B)-12(C)12(D)32题型二和差角的正切公式【例2】(1)化简求值:1tan751tan75;解:(1)原式=tan45tan751tan45tan75=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-33.解:(2)原式=33(tan20°+tan40°)+tan40°·tan20°=33·tan60°(1-tan20°·tan40°)+tan40°·tan20°=1-tan20°·tan40°+tan20°·tan40°=1.(2)tan20°·tan30°+tan30°·tan40°+tan40°·tan20°.利用公式T(α±β)化简求值的两个说明(1)如果分子中出现“1”常利用1=tan45°来代换,以达到化简求值的目的.如1tan1tan=tan(π4-α);3tan31tan=3tan(α+π4).方法技巧(2)若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体,常考虑tan(α±β)的变形公式.解析:因为1=tan45°=tan(22°+23°)=tan22tan231tan22tan23,所以tan22°+tan23°=1-tan22°tan23°,所以tan22°+tan23°+tan22°tan23°=1.即时训练2-1:tan22°+tan23°+tan22°tan23°=.答案:1题型三三角函数的条件求值解:因为π2βα34π,所以-34π-β-π2,所以0α-βπ4,πα+β32π,所以sin(α-β)=21cos=212113=513,【例3】已知π2βα34π,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,求cos2α,sin2β的值.cos(α+β)=-21sin=-2315=-45.所以cos2α=cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)=1213×(-45)-513×(-35)=-3365.sin2β=sin[(α+β)-(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)=(-35)×1213-(-45)×513=-3665+2065=-1665.题后反思(1)解决三角函数条件求值问题的关键是寻找已知角与所求角之间的关系,恰当地拆角、凑角,合理地选用公式.(2)常见角的变换有α=(α+β)-β,α=β-(β-α),2α=(α+β)+(α-β)等.解:(1)tan(π4+α)=1tan1tan=2,得tanα=13.即时训练3-1:已知tan(π4+α)=2,tan(α-β)=12,α∈(0,π4),β∈(-π4,0).(1)求tanα的值;(2)求212sincoscos的值;解:(2)212sincoscos=222sincos2sincos+cos=2tan12tan+1=23.解:(3)因为tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=tantan1tantan=1,又由α∈(0,π4),β∈(-π4,0),得2α-β∈(0,3π4),所以2α-β=π4.(3)求2α-β的值.题型四辅助角公式的应用解析:(1)f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3),因为-π2≤x≤π2,所以-π6≤x+π3≤56π,所以-12≤sin(x+π3)≤1,即-1≤f(x)≤2.【例4】(1)当-π2≤x≤π2时,函数f(x)=sinx+3cosx的最大值为,最小值为;答案:(1)2-1解析:(2)因为y=12cos2x+32sin2x+sin2x=322sin2x+12cos2x=622sin(2x+),所以T=π,值与求周期无关,不需要求出.(2)函数y=cos(π3-2x)+sin2x的最小正周期是.答案:(2)π辅助角公式的应用辅助角公式asinx+bcosx=22absin(x+)(或asinx+bcosx=22abcos(x-))可以将形如asinx+bcosx(a,b不同时为零)的三角函数式写成一个角的三角函数式.这样有利于三角函数式的化简求值,更有助于研究三角函数的性质.方法技巧即时训练4-1:函数f(x)=sinx-cos(x+π6)的值域为()(A)[-2,2](B)[-3,3](C)[-1,1](D)[-32,32]解析:f(x)=sinx-cos(x+π6)=sinx-32cosx+12sinx=32sinx-32cosx=3sin(x-π6),所以函数f(x)的值域为[-3,3].故选B.