2019年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式课件 新人教A版必修4

3.1.1两角差的余弦公式课标要求:1.熟悉用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用.2.熟记两角差的余弦公式,并能灵活运用.自主学习1.两角差的余弦公式cos(α-β)=,可简记为C(α-β),其中α,β是任意角.2.公式特点右边是两项的和,第一项是cosα与cosβ的积,第二项是sinα与sinβ的积,口诀为“余余正正号相反”.知识探究cosαcosβ+sinαsinβ提示:公式中的α,β不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”,如cos(2-2)中的“2”相当于公式中的角α,“2”相当于公式中的角β.可用两角差的余弦公式展开,因此对公式的理解要注意结构形式,而不要局限于具体的角.探究:公式C(α-β)有什么适用条件呢?解析:cosπ12=cos(π3-π4)=cosπ3cosπ4+sinπ3sinπ4=624.1.cosπ12的值为()(A)622(B)622(C)624(D)3自我检测C2.cos70°cos335°+sin110°sin25°的结果是()(A)1(B)22(C)32(D)12B解析:原式=cos70°cos(360°-25°)+sin(180°-70°)sin25°=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos(70°-25°)=cos45°=22.3.已知cosα=45,cos(α+β)=35,且α,β均为锐角,则cosβ的值为()(A)2425(B)1225(C)1325(D)16254.cos(α-20°)cos(40°+α)+sin(α-20°)sin(40°+α)=.A答案:12答案:-5131235265.已知sin(π3+α)=1213,α∈(π6,2π3),则cos(π3+α)的值为,cosα的值为.题型一运用公式化简求值课堂探究【例1】化简求值:(1)cos75°;(2)cos63°sin57°+sin117°sin33°;解:(1)cos75°=cos(120°-45°)=cos120°cos45°+sin120°sin45°=-12×22+32×22=624.(2)原式=cos63°cos33°+sin63°sin33°=cos(63°-33°)=cos30°=32.解:(3)原式=-sin100°sin160°+cos200°cos280°=-sin100°sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos60°=-12.(3)sin460°sin(-160°)+cos560°cos(-280°).误区警示在求非特殊角的余弦值时,根据题目中的已知角调整为特殊角,容易出现错误,从而导致结果不对.即时训练1-1:(1)cos15°cos45°+cos75°sin45°的值为()(A)12(B)32(C)-12(D)-32解析:(1)原式=cos15°cos45°+sin15°sin45°=cos(45°-15°)=cos30°=32,故选B.答案:(1)B解析:(2)原式=cos(75°-15°)=cos60°=12.(2)cos75°cos15°+sin75°sin15°=.答案:(2)12(3)cos7π12+cosπ12=.解:(3)cos7π12+cosπ12=cos(5π6-π4)+cos(π3-π4)=cos5π6cosπ4+sin5π6sinπ4+cosπ3cosπ4+sinπ3sinπ4=(-32)×22+12×22+12×22+32×22=-64+24+24+64=22.答案:(3)22题型二条件求值【例2】(1)已知sinα=-35,α∈(3π2,2π),则cos(π4-α)的值为;解析:(1)因为sinα=-35,α∈(3π2,2π),所以cosα=21sin=45,所以cos(π4-α)=cosπ4cosα+sinπ4sinα=22×45+22×(-35)=210.答案:(1)210解析:(2)因为α,β∈(0,π2),所以α+β∈(0,π),sin(α+β)0,sin(α+β)=21cos=6365,cosα=21sin=35,(2)已知α,β∈(0,π2),且sinα=45,cos(α+β)=-1665,则cosβ的值为.所以cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-1665×35+6365×45=204325.答案:(2)204325方法技巧给值求值的解题策略(1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时,关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式.(2)常用的变角技巧有α=(α+β)-β,β=(α+β)-α,α+β=(2α+β)-α,α+β=(α+2β)-β,α+β=(α+π4)-(π4-β)等.即时训练2-1:(1)已知cosα=45,α∈(-π2,0),则cos(π3-α)=;解析:(1)因为cosα=45,α∈(-π2,0),所以sinα=-21cos=-2415=-35,所以cos(π3-α)=cosπ3cosα+sinπ3sinα=12×45-32×35=43310.答案:(1)43310(2)已知α,β∈(3π4,π),sin(α+β)=-35,sin(β-π4)=1213,则cos(α+π4)的值为.解析:(2)因为α,β∈(3π4,π),所以α+β∈(3π2,2π),所以cos(α+β)=21sin=45.又β-π4∈(π2,3π4),所以cos(β-π4)=-513.Cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4)=45×(-513)+(-35)×1213=-5665.答案:(2)-5665题型三由三角函数值求角或范围解:(1)因为0βαπ2,所以0α+βπ,由cosα=55,cos(α+β)=-1010,得sinα=255,sin(α+β)=31010,所以cosβ=cos[(α+β)-α]【例3】(1)已知cosα=55,cos(α+β)=-1010,且0βαπ2,求β的值;=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-1010×55+31010×255=22.所以β=π4.解:(2)由sinα+sinβ=22,平方可知,sin2α+2sinαsinβ+sin2β=12.①设cosα+cosβ=m,平方可知,cos2α+2cosαcosβ+cos2β=m2.②①+②得sin2α+2sinαsinβ+sin2β+cos2α+2cosαcosβ+cos2β=m2+12,(2)已知sinα+sinβ=22,求(cosα+cosβ)2的取值范围.整理得m2=32+2cos(α-β).又由于cos(α-β)∈[-1,1],所以m2∈[-12,72],即得0≤m2≤72,所以(cosα+cosβ)2的取值范围是[0,72].题后反思(1)要求角需先求这个角的三角函数值,然后根据范围得出角的值.(2)已知一个角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)时,要根据角的范围确定其符号.即时训练3-1:(1)已知sinα+sinβ=35,cosα+cosβ=45,0αβπ,求α-β的值;解:(1)因为(sinα+sinβ)2=(35)2,(cosα+cosβ)2=(45)2,以上两式展开两边分别相加得2+2cos(α-β)=1,所以cos(α-β)=-12.所以0αβπ,-πα-β0,所以α-β=-2π3.(2)若sin(π4-α)=-12,sin(π4+β)=32,其中π4απ2,π4βπ2,求α+β的值.解:(2)因为π4απ2,π4βπ2,所以-π4π4-α0,π2π4+β3π4,所以cos(π4-α)=2π1sin4=32,Cos(π4+β)=-2π1sin4=-12,所以cos(α+β)=cos[(π4+β)-(π4-α)]=cos(π4+β)cos(π4-α)+sin(π4+β)sin(π4-α)=(-12)×32+32×(-12)=-32.又π2α+βπ,所以α+β=56π.