2019年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量运算的坐标表示课件 新人教A版选

3.1.5空间向量运算的坐标表示课标要求:1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模,夹角公式和两点间距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题.自主学习知识探究1.空间向量的坐标运算设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),λa=(λa1,λa2,λa3),a·b=a1b1+a2b2+a3b3.注意:在空间直角坐标系中,已知点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.AB2.空间向量的平行和垂直设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).(1)a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)或11ab=22ab=33ab(b1,b2,b3≠0);(2)a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.注意:(1)空间两向量平行与平面两向量平行的表达式不一样,但实质一致,即对应坐标成比例,且比值为λ.(2)空间中两向量垂直的充要条件与平面内两向量垂直类似.(1)长度公式:|a|=aa=222123aaa,|b|=222123bbb.3.空间向量的模、夹角及距离公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),(2)夹角公式:cosa,b=abab=112233222222123123abababaaabbb.(3)空间两点间的距离公式:设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则dAB=|AB|=222212121aabbcc.注意:(1)求向量的模(长度)的问题常转化成求空间两点间的距离问题,要熟记空间两点间的距离公式.(2)cosa,b=abab=112233222222123123abababaaabbb,这个公式为复合公式,运用时可以分步计算,先算a·b,再算|a|,|b|,最后算cosa,b.4.特殊向量的坐标表示(1)当向量a平行于x轴时,纵坐标、竖坐标都为0,即a=(x,0,0);(2)当向量a平行于y轴时,横坐标、竖坐标都为0,即a=(0,y,0);(3)当向量a平行于z轴时,横坐标、纵坐标都为0,即a=(0,0,z);(4)当向量a平行于xOy平面时,竖坐标为0,即a=(x,y,0);(5)当向量a平行于yOz平面时,横坐标为0,即a=(0,y,z);(6)当向量a平行于xOz平面时,纵坐标为0,即a=(x,0,z).自我检测1.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点A的坐标为(-1,2,1),点B的坐标为(1,3,4),则()C(A)AB=(-1,2,1)(B)AB=(1,3,4)(C)AB=(2,1,3)(D)AB=(-2,-1,-3)2.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离|CM|的值为()(A)534(B)532(C)532(D)132C解析:AB的中点M(2,32,3),又C(0,1,0),所以CM=(2,12,3),故M到C的距离|CM|=|CM|=2221232=532.故选C.3.已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若a⊥(b-c),则x的值为()(A)-2(B)2(C)3(D)-3A解析:因为b-c=(2,1,2)-(4,-2,1)=(-2,3,1),a·(b-c)=(-2,x,2)·(-2,3,1)=4+3x+2=0,所以x=-2故选A.解析:由a=zb,得2,3,14,xzyzz所以1,212,1.4xyz4.若a=(x,3,1),b=(2,y,4),且a=zb,则c=(x,y,z)=.答案:(12,12,14)解析:因为a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),所以|a|=|b|=,所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=0所以a+b与a-b垂直,所以向量a+b与a-b的夹角为90°.5.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则向量a+b与a-b的夹角是.22cos1sin答案:90°题型一空间向量的坐标运算课堂探究【例1】(1)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=;(1)解析:因为c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),(c-a)·2b=-2,所以2(1-x)=-2,所以x=2.答案:2(2)已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3).求点P的坐标,使①OP=12(AB-AC);②AP=12(AB-AC).(2)解:AB=(2,6,-3),AC=(-4,3,1),所以AB-AC=(6,3,-4).①OP=12(6,3,-4)=(3,32,-2),则点P的坐标为(3,32,-2).②设点P的坐标为(x,y,z),则AP=(x-2,y+1,z-2),因为12(AB-AC)=AP=(3,32,-2),所以x=5,y=12,z=0,则点P的坐标为(5,12,0).题后反思求空间某点的坐标时,一定要注意向量的起点是否在原点,(1)当向量的始点为原点时,向量的坐标即为终点的坐标;如OP=(3,32,-2)(其中O为原点),则P(3,32,-2).(2)当向量的始点不为原点时,求终点坐标需将位置向量加上始点坐标.例如,AP=(3,32,-2),A(2,-1,2),则P的坐标为(3+2,32-1,-2+2),即P(5,12,0).解:(1)因为AB=OB-OA=(3,7,5)-(2,4,1)=(1,3,4),AC=OC-OA=(4,10,9)-(2,4,1)=(2,6,8),所以AC=2AB.所以A,B,C三点共线.即时训练1-1:(1)已知OA=(2,4,1),OB=(3,7,5),OC=(4,10,9),试判断A,B,C三点是否共线;解:(2)因为AB=(1,4,0),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),令AD=xAB+yAC,则(9,14,16)=x(1,4,0)+y(1,2,2).所以9,4214,.216,xyxyy方程组无解所以AD,AB,AC不共面.所以A,B,C,D四点不共面.(2)已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3),D(10,14,17),试判断A,B,C,D四点是否共面.题型二利用向量解决平行与垂直问题【例2】已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB,b=AC.(1)设|c|=3,c∥BC,求c;解:(1)因为BC=(-2,-1,2),且c∥BC,所以设c=λBC=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R),所以|c|=22222=3|λ|=3.解得λ=±1.所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).解:(2)因为a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2).所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).因为(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0.即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.解得k=2或k=-52.(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.变式探究:将本例(2)中“若ka+b与ka-2b互相垂直”改为“若ka+b与a+kb互相平行”,其他条件不变,求k的值.解:a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2).a+kb=(1,1,0)+(-k,0,2k)=(1-k,1,2k),因为ka+b与a+kb平行,所以ka+b=λ(a+kb),即(k-1,k,2)=λ(1-k,1,2k),所以11,1,22,kkkk则1,1k或1,1.k方法技巧向量平行与垂直问题的两种类型(1)平行与垂直的判断①应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线;②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0.(2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②选择坐标形式,以达到简化运算的目的.即时训练2-1:(1)已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2).下列结论正确的是()(A)a∥b,a∥c(B)a∥b,a⊥c(C)a∥c,a⊥b(D)以上都不对解析:(1)因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),所以a∥c.又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b.故选C.答案:(1)C(2)若a=(x,2,-4),b=(-1,y,3),c=(1,-2,z),且a,b,c两两垂直,则x=_____,y=,z=.解析:(2)因为a⊥b,a⊥c,b⊥c,所以0,0,0,abacbc即2120,440,440,1230,xyxzxzyz解得64,26,17.xyz答案:(2)-64-26-17利用向量的坐标形式求夹角与距离题型三解:(1)如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设AA1=a,则B(4,4,0),N(2,2,a),A(4,0,0),M(2,4,2a),所以BN=(-2,-2,a),AM=(-2,4,2a).【例3】在长方体AC1中,底面ABCD是边长为4的正方形,A1C1与B1D1交于点N,BC1与B1C交于点M,且AM⊥BN,建立空间直角坐标系.(1)求1AA的长;由BN⊥AM得BN·AM=0,所以4-8+22a=0,解得a=22,所以1AA的长为22.解:(2)由(1)可得BN=(-2,-2,22),1AD=(-4,0,22),所以cosBN,1AD=11BNADBNAD=63.(2)求cosBN,1AD.方法技巧(1)求空间中两向量夹角的方法①基向量法:结合图形,选取一组合适的基底,将两向量用基向量表示出来,然后代入夹角公式求解;②坐标法:在图形中建立空间直角坐标系,然后求出两向量的坐标,代入向量的夹角坐标公式求解.利用坐标法要注意两点,一是坐标系的选取,二是要注意夹角的范围a,b∈[0,π],要特别关注向量共线的情况.(2)求空间中线段的长①建立恰当的空间直角坐标系;②求出线段端点的坐标,并求出对应向量的坐标;③利用向量的模的坐标公式求向量的模,即线段的长.即时训练3-1:(1)已知A(1,0,0),B(0,-1,1),OA+λOB与OB的夹角为60°(O为坐标原点),则λ的值为()(A)±66(B)66(C)-66(D)±6解析:(1)因为OA=(1,0,0),OB=(0,-1,1),所以OA+λOB=(1,0,0)+λ(0,-1,1)=(1,-λ,λ),所以由夹角公式得,cosOA+λOB,OB=22221=cos60°=12,解得λ=±66,又λ0,故λ=66.故选B.答案:(1)B(2)已知a=(5,3,1),b=(-2,t,-),若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为.25解析:(2)由已知a·b=5×(-2)+3t-25=3t-525.因为a与b的夹角为钝角,所以a·b0,所以3t-5250,即t5215,若a与b的夹角为180°,则存在λ0,使a=λb(λ0),即(5,3,1)=λ(-2