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3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线向量和共面向量定理及推论.自主学习课堂探究自主学习1.空间向量及其长度的定义与平面向量一样,在空间,我们把叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模.知识探究具有大小和方向的量2.空间向量的表示方法(1)几何表示:与平面向量一样,空间向量也用表示,有向线段的表示向量的模.(2)符号表示:如图所示,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或||.空间向量在空间中是可以任意平移的,这是向量与有向线段的本质区别.ABAB有向线段长度3.几个特殊的空间向量(1)零向量:我们规定,叫做零向量,记为0.当有向线段的起点A和终点B重合时,=0.长度为0的向量AB(2)单位向量:称为单位向量.(3)相反向量:的向量,称为a的相反向量,记为-a.(4)相等向量:的向量称为相等向量,在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.模为1的向量与向量a长度相等而方向相反方向相同且模相等注意:(1)单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定方向,需注意单位向量有无数个,它们的方向不确定,因此,它们不一定相等;零向量也有无数个,它们的方向任意,但规定所有的零向量都相等.(2)在平面内,若以两个同向向量为对边可构成平行四边形,则这两个向量相等,在空间中,这个结论同样成立.(3)和平面向量一样,若两个空间向量相等,则它们的方向相同,且模相等,但起点、终点未必相同.(4)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.因此,关于两个向量的比较,我们仅研究两者是否相等.4.空间向量的加减运算空间向量的加减运算类似于平面向量的加减运算,加法满足三角形法则和平行四边形法则,减法运算为加法运算的逆运算.如图,DB=DA+AB=a+b,DB=DA+DC=a+b.如图,AB=OB-OA=b-a.5.空间向量的加法运算满足的运算律(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).6.空间向量的数乘运算的定义(1)定义:与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.(2)λa的方向和长度如下:①方向:当λ0时,λa与向量a方向相同,如图(1);当λ0时,λa与向量a方向相反,如图(2);当λ=0时,λa=0.②大小:λa的长度是a的长度的|λ|倍.7.空间向量的数乘运算的运算律(1)分配律:λ(a+b)=λa+λb;(2)结合律:λ(μa)=(λμ)a.8.共线向量(1)共线向量的定义如果表示空间向量的有向线段,则这些向量叫做共线向量或平行向量.理解共线向量的定义时,要注意以下两点:①零向量和空间任一向量是共线向量.②共线向量不具有传递性,如a∥b,b∥c,那么a∥c不一定成立,因为当b=0时,虽然a∥b,b∥c,但a不一定与c共线.所在的直线互相平行或重合(2)向量共线的充要条件(又称共线向量定理)类似于平面向量共线的充要条件,对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是.对向量共线的充要条件的理解,应从以下几个方面正确把握:①在此充要条件中,要特别注意b≠0,若不加b≠0,则该充要性不一定成立.例如:若a≠0,b=0,则a∥b,但λ不存在,该充要性也就不成立了.②该充要条件包含两个命题:a.a∥b⇒存在唯一的实数λ,使a=λb;b.存在唯一的实数λ,使a=λb⇒a∥b.③向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据,但必须注意在向量a(或b)上存在一点不在向量b(或a)上.存在实数λ,使a=λb9.共面向量(1)共面向量的定义平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.空间任意两个向量必共面,但空间任意三个向量不一定共面.(2)三个向量共面的充要条件(又称共面向量定理)如果两个向量a,b,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是.不共线存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb10.共线向量定理、共面向量定理的推论(1)共线向量定理的推论:如图,l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,对空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OP=OA+ta,①其中向量a叫做直线l的方向向量.在l上取AB=a,则①式可化为OP=OA+tAB.②由此可见,可以利用向量之间的关系判断空间任意三点是否共线,这与利用平面向量判断平面内三点是否共线是一样的.①和②都称为空间直线的向量表示式.事实上,OP=OA+tAB=(1-t)OA+tOB,显然(1-t)+t=1.故OP=xOA+yOB(x+y=1)是P,A,B三点共线的充要条件.(2)共面向量定理的推论:如图,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使AP=xAB+yAC,或对空间任意一点O,有OP=OA+xAB+yAC.③③式称为空间平面ABC的向量表示式.事实上,OP=OA+xAB+yAC=(1-x-y)OA+xOB+yOC,显然,(1-x-y)+x+y=1.故OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)是P,A,B,C四点共面的充要条件.注意:(1)0与空间任意向量a都是共线向量.(2)a与b共线时,表示a与b的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线.(3)共线向量定理中的b≠0不可去掉,否则实数λ可能不唯一.(4)若P,A,B三点共线,即OP=OA+tAB,其中t=12,则有OP=12(OA+OB),说明点P是线段AB的中点.(5)空间任意两个向量必共面,但空间任意三个向量不一定共面.(6)空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.(7)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.自我检测1.下列命题中,假命题是()(A)任意两个向量都是共面向量(B)空间向量的加法运算满足交换律及结合律(C)只有零向量的模等于0(D)共线的单位向量都相等D解析:容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.故选D.3.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()(A)OM=3OA-2OB-OC(B)OM+OA+OB+OC=0(C)MA+MB+MC=0(D)OM=14OB-OA+12OCC2.空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是()(A)a=b(B)a+b为实数0(C)a与b方向相同(D)|a|=3D解析:因为MA+MB+MC=0,所以MA=-MB-MC,所以M与A,B,C必共面.答案:56a+92b-76c4.化简12(a+2b-3c)+5(23a-12b+23c)-3(a-2b+c)=.解析:若ke1+e2,e1+ke2共线,则ke1+e2=λ(e1+ke2),所以,1,kk所以k=±1.5.非零向量e1,e2不共线,使ke1+e2与e1+ke2共线的k的值是.答案:±1题型一空间向量的有关概念课堂探究【例1】(1)已知向量AB,AC,BC满足|AB|=|AC|+|BC|,则()(A)AB=AC+BC(B)AB=-AC-BC(C)AC与BC同向(D)AC与CB同向解析:(1)由|AB|=|AC|+|BC|=|AC|+|CB|,知C点在线段AB上,否则与三角形两边之和大于第三边矛盾,所以AC与CB同向.故选D.答案:(1)D(2)给出下列命题:①零向量的方向是任意的;②在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC=11AC;③若向量a与向量b的模相等,则a,b的方向相同或相反;④在四边形ABCD中,必有AB+AD=AC.其中正确命题的序号是.解析:(2)①正确;②正确,因为AC与11AC的大小和方向均相同;③|a|=|b|,不能确定其方向,所以a与b的方向不能确定;④中只有当四边形ABCD是平行四边形时,才有AB+AD=AC.综上可知,正确命题为①②.答案:(2)①②易错警示(1)判断有关向量的命题时,要抓住向量的两个主要元素,即大小和方向,两者缺一不可.(2)要注意零向量的特殊性.对于零向量,应明确:①零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的;②零向量与任何向量都共线.(3)对于共线向量应明确:①当a与b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线,也可能是平行直线;②共线(平行)向量不具有传递性,如a∥b,b∥c,那么a∥c就不一定成立,因为b=0时,虽然有a∥b,b∥c,但a不一定与c共线,若a,b,c都不是零向量,则具有传递性.解析:(1)①正确,零向量的方向是任意的.②错误,空间向量可以平行移动.③正确,向量的模可以比较大小,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大.④错误,如果两个向量不相同,它们的长度可以相等.即时训练1-1:(1)给出下列命题:①零向量没有确定的方向;②空间向量是不能平行移动的;③有向线段可用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大;④如果两个向量不相同,那么它们的长度也不相等.其中正确的是()(A)①②(B)②③(C)①③(D)①③④答案:(1)C(2)如图,在以长、宽、高分别为AB=4,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,单位向量共有个,模为的所有向量为.5解析:(2)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量1AA,1AA,1BB,1BB,1CC,1CC,1DD,1DD共8个单位向量.而其余向量模均不为1,故单位向量共8个.长方体的左、右两侧面的对角线长均为5,故模为5的向量有1AD,1DA,1AD,1DA,1CB,1BC,1BC,1CB.答案:(2)81AD,1DA,1AD,1DA,1CB,1BC,1BC,1CB题型二空间向量的加减和数乘运算【例2】(1)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC的三等分点(靠近A点),N是A1D的三等分点(靠近D点).设AB=a,AD=b,1AA=c,则用a,b,c表示MN=;解析:(1)MN=MA+1AA+1AN=-13AC+1AA+123AD=-13(AB+AD)+1AA+23(AD-1AA)=-13(a+b)+c+23(b-c)=-13a+13b+13c.答案:(1)-13a+13b+13c(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为向量1AC的是(填序号).①(AB+BC)+1CC;②(1AA+11AD)+11DC;③(AB+1BB)+11BC;④(1AA+11AB)+11BC.解析:(2)①(AB+BC)+1CC=AC+1CC=1AC;②(1AA+11AD)+11DC=1AD+11DC=1AC;③(AB+1BB)+11BC=1AB+11BC=1AC;④(1AA+11AB)+11BC=1AB+11BC=1AC.所以所给四个式子的运算结果都是1AC.答案:(2)①②③④(1)利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法,一般地,可以找到的封闭图形不是唯一的,但无论哪一种途径,结果应是唯一的.(2)应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提,一定要熟练掌握.方法技巧答案:(1)b-a+ca+b-c即时训练2-1:(1)如图,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,AB=a,AD=b,AA=c,则BD=,AC=;(结果用a,b,c表示)(1)解析:BD=BD+DD=AD-AB+AA=b-a+c,AC=AA+AC=AB+AD+AA=a+b-c.(2)如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,化简①AB+BC+CD;②AB+GD+EC,并标出化简结果的向量.(2)解:①AB+BC+CD=AC+CD=AD,如图中向量AD.②AB+GD+EC=AB+BG+EC=AG+GF=AF,如图中向量AF.空间向量共线问题题型三【例3】(1)(1)设两非零向量e1,e2不共线,AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3(e1-e2).试问: