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3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域课标要求:1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,并会画其表示的平面区域.3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,并能用平面区域表示二元一次不等式组的解.自主学习1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)及其解集的相关定义①二元一次不等式的定义我们把的不等式称为二元一次不等式.②二元一次不等式组的定义我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.③二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.知识探究含有两个未知数,并且未知数的次数是1④二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标,于是,二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.(2)二元一次不等式表示的平面区域一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包括边界.不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界,把边界画成实线.①对于二元一次不等式的不同形式,其对应的平面区域有如下结论:二元一次不等式Ax+By+C≥0(A0,B0)Ax+By+C≤0(A0,B0)Ax+By+C≥0(A0,B0)Ax+By+C≤0(A0,B0)平面区域②画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤为:第一步“”,即画出边界Ax+By+C=0,要注意是虚线还是实线;第二步,“”,取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号就可以断定Ax+By+C0(0)表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域;第三步,用阴影表示出平面区域.(3)二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集,即各个不等式表示的平面区域的公共部分.直线定界特殊点定域2.二元一次不等式表示的区域位置的影响因素(1)形如Ax+By+C0(0)的情境下,系数A,B对区域的影响由于坐标系是表示方位的,x表示左右,y表示上下,因而可以通过考察其系数A,B的符号来判断区域.具体如表:Ax+By+C0表示的平面区域与直线Ax+By+C=0的位置关系Ax+By+C0表示的平面区域与直线Ax+By+C=0的位置关系A0在直线右方在直线左方A0在直线左方在直线右方B0在直线上方在直线下方B0在直线下方在直线上方对于Ax+By+C0表示的平面区域与直线Ax+By+C=0的位置关系,可记为:A决定左右,A正在右,A负在左;B决定上下,B正在上,B负在下.【知识拓展】由A的符号判断二元一次不等式表示的区域位置可简记为“同右异左”(“同”表示A的符号与Ax+By+C的符号相同),由B的符号判断二元一次不等式表示的区域位置可简记为“同上异下”(“同”表示B的符号与Ax+By+C的符号相同).即只需由A或B的符号与Ax+By+C的符号的异同可直接确定平面区域.(2)形如ykx+b(ykx+b)情境下,不等式符号“()”对区域的影响事实上,ykx+b表示直线y=kx+b的下方区域,ykx+b表示直线y=kx+b的上方区域.这是因为,假设点(x0,y)为ykx+b表示的区域内一点,则ykx0+b,其表示直线y=kx+b上的一点(x0,y0)的上方区域.【知识拓展】由于斜截式在具体考题中比较常见,因此对其进行探讨十分必要,利用ykx+b(ykx+b)来判定十分方便快捷,但其前提是直线的斜率存在,即对于一般形式的不等式Ax+By+C0,需要求B≠0.具体操作时,可以先画出直线,然后研究不等式的符号.3.复杂不等式(组)表示的平面区域高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式(组),从而画出这些不等式(组)表示的平面区域.对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法:先分情况讨论去掉绝对值符号,从而把含绝对值的不等式转化为一般的二元一次不等式(组),然后按照“直线定界,特殊点定域”的方法作出所求的平面区域.【知识拓展】(1)对顶区域不等式(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)0(A1B2-A2B1≠0,A10,A20)表示的区域为相交直线的左右对顶的区域,而(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)0(A1B2-A2B1≠0,A10,A20)表示的区域为相交直线的上下对顶的区域.在取特殊点时只需取一个容易观察的点即可.(2)平行四边形区域满足axb的所有点(x,y)组成的平面区域是两条平行线的内部(带状区域),满足aAx+By+Cb的所有点(x,y)组成的平面区域也是两条平行线的内部,且边界分别为Ax+By+C=a,Ax+By+C=b,因此满足的区域一般是平行四边形.1111122222,aAxByCbaAxByCb＜＜＜＜自我检测1.不等式x+3y-60表示的平面区域在直线x+3y-6=0的()(A)右上方(B)左上方(C)右下方(D)左下方D解析:直线x+3y-6=0表示的位置如图所示.由于0+3×0-60,故x+3y-60表示的区域在直线x+3y-6=0的左下方.故选D.2.不在不等式3x+2y6表示的平面区域内的一个点是()(A)(0,0)(B)(1,1)(C)(0,2)(D)(2,0)D解析:将点的坐标代入不等式3x+2y6中,只有选项D不满足该不等式.故选D.3.图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是()(A)x+y-10(B)x+y-10(C)x-y-10(D)x-y-10B解析:边界所在的直线方程为x+y-1=0,取点O(0,0),代入直线方程得-10,则不等式x+y-10表示阴影部分.故选B.4.已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的异侧,则a的取值范围是____.解析:由题意知(3×3-2×1+a)·[3×(-4)-2×6+a]0,即(7+a)(a-24)0,解得-7a24.答案:(-7,24)5.画出二元一次不等式组表示的平面区域,则这个平面区域的面积为.1,0,0xyxy解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.则这个平面区域的面积为12×1×1=12.答案:12题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域课堂探究【例1】画出下列不等式(组)表示的平面区域.(1)2x+y-100;解:(1)先画出直线2x+y-10=0(画成虚线).取原点(0,0),代入2x+y-10.因为2×0+0-100,所以原点在2x+y-100表示的平面区域内,不等式2x+y-100表示的平面区域如图(1)阴影部分所示.(2)50,10,3.xyxyx解:(2)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合;x+y+1≥0表示直线x+y+1=0上及右上方的点的集合;x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.所以不等式组表示的平面区域如图(2)阴影部分所示.误区警示在画二元一次不等式(组)表示的平面区域时,注意区分边界的虚实.Ax+By+C≥0(≤0)表示的平面区域包括直线Ax+By+C=0,该直线要画成实线;Ax+By+C0(0)表示的平面区域不包括直线Ax+By+C=0,该直线要画成虚线.变式探究:将本例(2)中不等式组改为“(x-y-1)(2x-y-3)≤0”,试画出不等式表示的平面区域.解:不等式可表示为所以表示的平面区域如图阴影部分所示.10,10,230230,xyxyxyxy或即时训练1-1:在△ABC中,A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.解:如图所示,直线AB的方程为11yx=13yx,即x+2y-1=0,三角形区域在直线AB及其右上方,故x+2y-1≥0;同理直线AC的方程为2x+y-5=0,区域在直线AC及其左下方,故2x+y-5≤0;直线BC的方程为x-y+2=0,区域在直线BC及其右下方,故x-y+2≥0.所以△ABC区域所表示的二元一次不等式组为0,20,250.xxyxy+2y-1题型二二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积与整点个数问题【例2】已知不等式组(1)画出不等式组表示的平面区域;0,0,4312.xyxy＞＞解:(1)不等式4x+3y≤12表示直线4x+3y=12上及其左下方的点的集合;x0表示直线x=0右方的所有点的集合;y0表示直线y=0上方的所有点的集合,故不等式组表示的平面区域如图(1)所示.(2)求不等式组所表示的平面区域的面积;(3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标.解:(2)如图(1)所示,不等式组表示的平面区域为直角三角形,其面积S=12×4×3=6.(3)当x=1时,代入4x+3y≤12,得y≤83,所以整点为(1,2),(1,1).当x=2时,代入4x+3y≤12,得y≤43,所以整点为(2,1).所以区域内整点共有3个,其坐标分别为(1,1),(1,2),(2,1).如图(2).方法技巧求平面区域面积的一般步骤:第一步:画出不等式组表示的平面区域;第二步:根据区域的形状设计计算过程,必要时可采用“割补法”;第三步:求出区域的顶点坐标;第四步:通过相应的距离公式、面积公式求出区域的面积.解析:(1)在平面直角坐标系中,作出x+y-2=0,x-y+2=0和x=2三条直线,利用特殊点(0,0)可知可行域如图阴影部分所示,其面积S=4×2×12=4.即时训练2-1:(1)在平面直角坐标系中,求不等式组20,20,2xyxyx表示的平面区域的面积为;答案:(1)4解析:(2)根据题意作图,如图所示.图中阴影部分为所求的区域,设其面积为S,则S=S△AOD-S△ABC=12×2×2-12×1×12=74.(2)若A为不等式组0,0,2xyyx表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为.答案:(2)74题型三二元一次不等式组表示平面区域的应用【例3】一工厂生产甲、乙两种产品,生产每种1t产品的资源需求如表:品种电力/kW·h煤/t工人/人甲235乙852该厂有工人200人,每天只能保证160kW·h的用电额度,每天用煤不得超过150t,请在平面直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量的范围.解:设每天分别生产甲、乙两种产品xt和yt,生产xt甲产品和yt乙产品的用电量是(2x+8y)kW·h,根据条件,有2x+8y≤160;用煤量为(3x+5y)t,根据条件有3x+5y≤150;用工人数为5x+2y≤200;另外,还有x≥0,y≥0.综上所述,x,y应满足不等式组28160,35150,52200,0,0.xyxyxyxy甲,乙两种产品的产量范围是这个不等式组表示的平面区域,即如图所示的阴影部分(含边界).方法技巧解决此类问题应先根据问题的需要选取起关键作用的、关联较多的量用两个字母表示,进而问题中的所有量都用这两个字母表示出来,再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量的实际意义写出所有的不等式,再由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可.即时训练3-1:甲、乙、丙三种食物的维生素A,维生素D的含量如表:甲乙丙维生素A(单位/千克)607040维生素D(单位/千克)804050某食物营养研究所想把甲种食物、乙种食物、丙种食物配成10千克的混合食物,并使混合食物中至少含有560单位/千克维生素A和630单位/千克维生素D,请在平面直角坐标系中画出甲、乙两种食物的用量范围.解:设配成10千克