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第二课时一元二次不等式及其解法习题课课标要求:1.在掌握一元二次不等式解法的基础上,能够根据一元二次不等式的解集,确定不等式中参数的值.2.能够求解与一元二次不等式相关的不等式恒成立问题.3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.自主学习1.已知二次不等式ax2+bx+10的解集是{x|-2x1},则a,b的值为()C(A)-1,-2(B)-2,-1(C)-12,-12(D)1,2解析:由条件可知,a0且方程ax2+bx+1=0的两根为-2和1,所以1,12,baa解得1,21.2ab自我检测2.已知不等式x2+ax+1≥0的解集为R,则a的取值范围是()(A)[-2,2](B)(-2,2)(C)(-∞,-2]∪[2,+∞)(D)(-∞,-2)∪(2,+∞)A解析:由Δ≤0知a2-4≤0,所以-2≤a≤2.3.已知集合P={0,m},Q={x|2x2-5x0,x∈Z},若P∩Q≠,则m等于()D解析:因为Q={x|0x,x∈Z}={1,2},所以m=1或2,故选D.52(A)1(B)2(C)1或25(D)1或24.已知f(x)=(x-a)(x-b)+2(ab),且α,β(αβ)是方程f(x)=0的两根,则α,β,a,b的大小关系是()(A)aαβb(B)aαbβ(C)αabβ(D)αaβbA解析:因为α,β为f(x)=0的两根,所以α,β为f(x)=(x-a)(x-b)+2与x轴交点的横坐标.因为a,b为(x-a)(x-b)=0的根,令g(x)=(x-a)(x-b),所以a,b为g(x)与x轴交点的横坐标.可知f(x)的图象可由g(x)的图象向上平移2个单位得到,由图知选A.5.不等式x2+ax+40的解集不是空集,则实数a的取值范围是.解析:因为不等式x2+ax+40的解集不是空集,所以Δ=a2-160,所以a-4或a4.所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞).答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)题型一三个二次之间的联系课堂探究【例1】若不等式ax2+bx-10的解集是{x|1x2}.(1)试求a,b的值;解:(1)因为不等式ax2+bx-10的解集是{x|1x2}.所以a0,且1和2是方程ax2+bx-1=0的两根,由根与系数的关系可得3,12,0.baaa＜于是得1,23.2ab解:(2)由(1)得不等式11axbx0即为112312xx0,所以(-12x+1)(32x-1)0,因此(x-2)(x-23)0,解得23x2.即原不等式的解集是(23,2).(2)求不等式0的解集.11axbx方法技巧一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1,x2时,二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0).当已知ax2+bx+c0(或ax2+bx+c0)的解集时,也就知道了ax2+bx+c=0的根,求参数时一般需把根代入方程或利用根与系数的关系(韦达定理)得出.即时训练1-1:已知不等式ax2-3x+64的解集为{x|x1或xb}.(1)求a,b;解:(1)原不等式可化为ax2-3x+20,由题意知x=1是方程ax2-3x+2=0的根,所以a=1.所以x2-3x+20,所以x1或x2,故b=2.(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc0(c∈R).②当c=2时,x∈,解:(2)由(1)可知原不等式可化为x2-(c+2)x+2c0,即(x-c)(x-2)0,①当c2时,2xc,③当c2时,cx2,综上,当c2时,原不等式的解集为{x|cx2};当c=2时,原不等式的解集为;当c2时,原不等式的解集为{x|2xc}.题型二与一元二次不等式有关的恒成立问题【例2】设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求m的取值范围;解:(1)要使mx2-mx-10恒成立,若m=0,显然-10.若m≠0,20,40mmm＜＜⇒-4m0.所以m的取值范围为(-4,0].(2)对于x∈[1,3],f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围.解:(2)法一要使f(x)-m+5在x∈[1,3]上恒成立.就要使m（x-12）2+34m-60在x∈[1,3]上恒成立.令g(x)=m（x-12）2+34m-6,x∈[1,3].当m0时,g(x)是增函数,所以g(x)max=g(3)⇒7m-60.所以0m67;当m=0时,-60恒成立;当m0时,g(x)是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-60,得m6.所以m0.综上所述:m67.即m的取值范围为(-∞,67).法二当x∈[1,3]时,f(x)-m+5恒成立,即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-60恒成立.因为x2-x+1=(x-12)2+340,m(x2-x+1)-60,所以m261xx.因为函数y=261xx=261324x在[1,3]上的最小值为67,所以只需m67即可.即m的取值范围为（-∞,67）.方法技巧不等式恒成立求其中参数取值范围的问题通常有以下两种解法:(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况,即ax2+bx+c0(a≠0)恒成立⇔0,0;a＞＜ax2+bx+c0(a≠0)恒成立⇔0,0.a＜＜(2)分离参数,构造合适的函数将恒成立问题转化为求函数在给定区间上的最值问题,即k≥f(x)(kf(x))恒成立⇔k≥f(x)max(kf(x)max);k≤f(x)(kf(x))恒成立⇔k≤f(x)min(kf(x)min).解:①若a=0,不等式化为-x-2≤0不能对x∈R恒成立;即时训练2-1:若关于x的不等式ax2+(2a-1)x+a-2≤0对任意x∈R恒成立,求a的取值范围.②若a≠0,则有a0时,应有Δ≤0,即20,21420,aaaa＜解得a≤-14.综上,要使不等式对x∈R恒成立,a的取值范围是(-∞,-14].题型三一元二次方程根的分布【例3】已知方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于2,求实数m的取值范围.解:法一设方程x2+2mx-m+12=0的两根为x1,x2.由题意知2121244120,24,220,mmxxmxx＞＞即2120,2,3160,mmmm＜＞解得43,2,16.3mmmm或＜＞所以-163m≤-4.故实数m的取值范围为(-163,-4].法二设函数f(x)=x2+2mx-m+12,则20,222212,22,22fmmbma＞0＞即43,16,32.mmmm或＞＜所以-163m≤-4.故实数m的取值范围为（-163,-4].方法技巧(1)一元二次方程根的分布一般要借助于一元二次函数的图象加以分析,准确地找到限制根的分布的等价条件,常常从以下几个关键点去限制:①判别式;②对称轴;③根所在区间端点函数值的符号.(2)解法一实际上是个易错解法,因为二次方程有两个大于2的实根的条件是12124,0,220,xxxx＞＞①而不是12124,0,4.xxxx＞＞②这是因为由不等式组②可能得不到x12,x22,例如x1=15,x2=12,虽然x1+x24,x1·x24,但方程的根x2=12却小于2.比较一下,选择解法二可以避免类似的错误.即时训练3-1:若关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两根,一个根小于1,一个根大于1,求实数k的取值范围.解:令f(x)=2kx2-2x-3k-2.因为方程2kx2-2x-3k-2=0的两根一个大于1,一个小于1,①若k0,则f(1)0,即2k-2-3k-20,所以k-4.又k0,所以k0.②若k0,则f(1)0,即2k-2-3k-20,所以k-4.又k0,所以k-4.综合①②可知,k的取值范围为(-∞,-4)∪(0,+∞).题型四一元二次不等式的实际应用【例4】某摩托车生产企业,上年度生产车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆,本年度为适应市场需要,计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式;解:(1)每辆车投入成本增加的比例为x,则每辆车投入成本为1×(1+x)万元,出厂价为1.2×(1+0.75x)万元,年销量为1000×(1+0.6x)辆.所以y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000×(1+0.6x),即y=-60x2+20x+200(0x1).解:(2)欲保证本年度的利润比上年度有所增加,则1.2110000,01,yx＞＜＜即260200,01.xxx＞＜＜所以0x13.即为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应在(0,13)范围内.(2)为使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?方法技巧用一元二次不等式求解实际应用题的一般步骤:(1)审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系;(2)建模:建立一元二次不等式模型;(3)求解:解一元二次不等式;(4)还原:把数学结论还原为实际问题.即时训练4-1:某单位在对一个长800m,宽600m的草坪进行绿化时,是这样想的:中间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛,如图所示,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,试确定花坛宽度的取值范围.解:设花坛的宽度为xm,则草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m.根据题意得(800-2x)·(600-2x)≥12×800×600,整理得x2-700x+60000≥0,解不等式得x≥600(舍去)或x≤100,由题意知x0,所以0x≤100.当x在(0,100]内取值时,绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.