2019年高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式课件 新人教A版必修5

第三章不等式3.1不等关系与不等式课标要求:1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,会用不等式及不等式组表示不等关系.2.会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小.3.掌握不等式的性质,能运用不等式的性质解决问题.自主学习知识探究1.不等式的有关概念(1)不等式的定义在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号、、≥、≤、≠连接两个数或代数式来表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式.(2)不等式的分类在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右边,这样的两个不等式叫做同向不等式;在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个不等式的左边小于右边,那么这两个不等式叫做异向不等式.(3)关于a≤b和a≥b的含义①不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者ab,或者a=b”,等价于“a不大于b”,即若ab与a=b之中有一个正确,则a≤b正确.②不等式a≥b应读作“a大于或等于b”,其含义是指“或者ab,若者a=b”,等价于“a不小于b”,即若ab与a=b之中有一个正确,则a≥b正确.(4)用不等式表示不等关系①在现实生活中,存在着许许多多的不等关系,在数学中,我们用不等式来表示这样的不等关系.例如:限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h,写出不等式就是v≤40.②文字语言与数学符号之间的转换,将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.③常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不超过符号语言≥≤【知识拓展】利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系(1)在用不等式(组)表示不等关系时,应注意必须是具有相同性质,可以进行比较时,才可用,没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示.另外,在用不等式(组)表示实际问题时一定要注意单位的统一.(2)用不等式表示不等关系的方法①认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系;②找出体现不等关系的关键词:至少、至多、不少于、不多于、超过、不超过等,用代数式表示相应各量,并用关键词连接,特别需要考虑的是≤、≥中的“=”能否取得.(3)注意变量的实际意义体积、面积、长度、质量、时间等均为非负实数.2.比较实数大小的依据在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.由实数减法在数轴上的表示(如图所示),可以看出a,b之间具有以下性质:如果a-b是正数,那么ab;如果a-b等于零,那么a=b;如果a-b是负数,那么ab.反之也成立.就是a-b0⇔ab;a-b=0⇔a=b;a-b0⇔ab.【知识拓展】比较两个实数大小的方法(1)作差法:对于两个实数a,b,如果a-b是正数,那么ab;如果a-b是负数,那么ab;如果a-b等于零,那么a=b.反之也成立,即a-b0⇔ab;a-b=0⇔a=b;a-b0⇔ab.(2)作商法:对于任意两个正数a,b,如果ab1,那么ab;如果ab1,那么ab;如果ab=1,那么a=b.反之也成立,即对于任意两个正数a,b,有ab1⇔ab;ab=1⇔a=b;ab1⇔ab.用表格表示为作差比较法作商比较法乘方比较法a-b0⇔aba-b=0⇔a=ba-b0⇔aba0,b0ab1⇔abab=1⇔a=bab1⇔aba0,b0ab1⇔abab=1⇔a=bab1⇔aba2b2,且a0,b0⇔ab若数(式)的符号不明显,作差后可化为积商的形式同号两数比较大小或指数式之间比较大小要比较的两数(式)中有根号(1)作差;(2)变形;(3)判断符号;(4)下结论(1)作商;(2)变形;(3)判断商值与1的大小;(4)下结论(1)乘方;(2)用作差比较法或作商比较法3.不等式的性质别名性质内容注意性质1对称性ab⇔baab⇔ba可逆性质2传递性ab,bc⇒accb,ba⇒ca同向性质3可加性ab⇔a+cb+c可逆性质3的推论移项法则a+bc⇔ac-b可逆0abc＞＞⇒acbc性质4可乘性0abc＞＜⇒acbcc的符号性质5同向可加性abcd＞＞⇒a+cb+d同向性质6同向同正可乘性00abcd＞＞＞＞⇒acbd同向性质7可乘方性ab0⇒anbn(n∈N,n≥1)性质8可开方性ab0⇒nanb(n∈N,n≥2)同向自我检测1.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h满足关系为()(A)h4.5(B)h4.5(C)h≤4.5(D)h≥4.5C解析:限高指不超过,所以限高4.5米指h≤4.5.B2.若ab,cd,则下列不等关系中不一定成立的是()(A)a-bd-c(B)a+db+c(C)a-cb-c(D)a-ca-d解析:由不等式的性质易知A,C,D成立,选B.B3.已知ab,那么下列式子中,错误的是()(A)4a4b(B)-4a-4b(C)a+4b+4(D)a-4b-4解析:根据不等式的性质,ab,4a4b,A项正确;ab,-4a-4b,B项错误;ab⇒a+4b+4,C项正确;ab⇒a-4b-4,D项正确.故选B.4.已知x1,则x2+2与3x的大小关系为.解析:(x2+2)-3x=(x-1)(x-2).因为x1,所以x-10,x-20,所以(x-1)(x-2)0,所以x2+23x.答案:x2+23x5.若x≥1,y≥2,则2x+y的最小值为.解析:因为x≥1,所以2x≥2,又y≥2,所以2x+y≥2+2=4.答案:4题型一用不等式来表示不等关系课堂探究【例1】配制A,B两种药剂,需要甲,乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若A,B两种药至少各配一剂,设A,B两种药分别配x,y剂(x,y∈N),请写出x,y应满足的不等关系式.解:根据题意可得3520,5425,1,N,y1,N.xyxyxxy误区警示(1)利用不等式表示不等关系时,应注意必须是具有相同性质,可以比较大小的两个量才可用,没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.(2)在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一.即时训练1-1:糖水在日常生活中经常见到,可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题,能提炼出一个怎样的不等式呢?(1)如果向一杯糖水里加点糖,糖水变甜了;解:(1)设糖水b克,含糖a克,易知浓度为ab,加入m克糖后的浓度为ambm,则提炼出的不等式为:若ba0,m0,则abambm.(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定比原来的糖水浓、比加糖后的糖水淡.解:(2)设原来的糖水b1克,含糖a1克,易知浓度为11ab;加糖后的糖水b2克,含糖a2克,易知浓度为22ab,则混合后的浓度为1212aabb,所提炼出的不等式为:若b1a10,b2a20,且11ab22ab,则11ab1212aabb22ab.题型二比较大小解:(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).由x≤1得x-1≤0,而3x2+10.所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.【例2】(1)已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小;(2)已知a0,b0,比较aabb与abba的大小.解:(2)因为a0,b0,所以aabb0,abba0.所以abbaabab=ababab=(ab)a-b.讨论:①当ab时,ab1,a-b0,所以(ab)a-b1.所以aabbabba.②当a=b时,ab=1,a-b=0,所以(ab)a-b=1.所以aabb=abba.③当ab时,0ab1,a-b0,所以(ab)a-b1.所以aabbabba.综上可知,当a0,b0时,aabb≥abba.方法技巧(1)利用作差法比较大小的一般步骤为作差——变形——定号——结论.变形的目的是能判断符号,变形越彻底就越易判断符号.常用方法为配方、平方差公式、立方差、立方和公式、通分、因式分解、分子(或分母)有理化等.(2)作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确定的数或式的大小的比较,作商后可变形为能与1比较大小的式子.即时训练2-1:(1)已知a,b为正实数,试比较ab+ba与a+b的大小;解:(1)法一(直接作差):(ab+ba)-(a+b)=(ab-b)+(ba-a)=abb+baa=2ababab.因为a0,b0,所以a+b0,(a-b)2≥0,ab0,所以2ababab≥0,所以ab+ba≥a+b.法二(平方后作差):(ab+ba)2=2ab+2ba+2ab,(a+b)2=a+b+2ab,所以(ab+ba)2-(a+b)2=2ababab,又a0,b0,所以2ababab≥0,而ab+ba0,a+b0,故ab+ba≥a+b.解:(2)因为m∈R,x∈R,所以(x2-x+1)-(-2m2-2mx)=x2+(2m-1)x+(2m2+1)=x2+(2m-1)x+(212m)2-(212m)2+2m2+1=(x+212m)2+m2+m+34=(x+212m)2+(m+12)2+120.所以x2-x+1-2m2-2mx.(2)已知x∈R,m∈R,比较x2-x+1与-2m2-2mx的大小.方法技巧比较两数(式)大小常用作差法或作商法,尤其是作商法,是学习不等式知识的基本出发点.(1)作差法的步骤:作差——变形——判断符号——下结论.(2)作商法的步骤:作商——变形——判断与1的大小——下结论.其中,使用作商法比较大小时,要注意两数(式子)的符号应相同,而作差法没有这个限制条件.题型三利用不等式性质证明不等式【例3】(1)证明不等式:a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R);证明:(1)因为2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)=(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,又a,b,c∈R,所以(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(c-a)2≥0,所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,当且仅当a=b=c时取“=”.所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).即a2+b2+c2≥ab+bc+ca.(2)若ab0,cd0,e0,求证:.证明:(2)因为cd0,所以-c-d0.又因为ab0,所以a-cb-d0.所以(a-c)2(b-d)20.同乘以221acbd,得21ac21bd.又e0,所以2eac2ebd.2eac2ebd方法技巧用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用相应的不等式性质证明;要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘以(除以)一个常数;一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的等.即时训练3-1:(1)已知ab,ef,c0.求证:f-ace-bc;(2)若bc-ad≥0,bd0.求证:≤.证明:(1)因为ab,c0,所以acbc,所以-ac-bc.因为fe,所以f-ace-bc.abbcdd(2)因为bc-ad≥0,所以ad≤bc,因为bd0,所以ab≤cd,所以ab+1≤cd+