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2.2.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质课标要求:1.理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长.2.掌握椭圆的离心率及a,b,c的几何意义.3.会应用椭圆的简单几何性质解题.自主学习知识探究1.范围设椭圆的标准方程为22xa+22yb=1(ab0),研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.(1)从形的角度看:椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里.(2)从数的角度看:利用方程研究,易知22yb=1-22xa≥0,故22xa≤1,即-a≤x≤a;22xa=1-22yb≥0,故22yb≤1,即-b≤y≤b.2.对称性在椭圆的标准方程22xa+22yb=1(ab0)中以-y代y,方程并不改变,这说明当点P(x,y)在椭圆上时,它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上,所以椭圆关于x轴对称;同理,以-x代x,方程也不改变,所以椭圆关于y轴对称;以-x代x,以-y代y,方程也不改变,所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.顶点与长轴、短轴以椭圆的标准方程22xa+22yb=1(ab0)为例.(1)顶点令x=0,得y=±b;令y=0,得x=±a.这说明A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点,B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆与它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点.(2)长轴、短轴线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.长轴长|A1A2|=2a,短轴长|B1B2|=2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4.离心率(1)离心率的定义:椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率.用e表示,即e=ca.(2)离心率的范围:0e1.(3)椭圆离心率的意义:椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.当e越接近于1时,c越接近于a,从而b=22ac越小,因此椭圆越扁;当e越接近于0时,c越接近于0,从而b=22ac越接近于a,因此椭圆越接近于圆;当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,它的方程为x2+y2=a2.(4)计算离心率的常见形式:e=ca=22ca=1212FFPFPF,e=ca=222aba=221ba.5.椭圆的两种标准方程的几何性质比较标准方程22xa+22yb=1(ab0)22ya+22xb=1(ab0)焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤b对称性关于x轴、y轴对称,关于原点对称顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)长、短轴长长轴长|A1A2|=2a,短轴长|B1B2|=2b离心率e=ca(0e1)自我检测B1.若焦点在x轴上的椭圆22x+2ym=1的离心率为12,则m等于()(A)3(B)32(C)83(D)23解析:因为椭圆焦点在x轴上,所以0m2,a=2,c=2m,e=ca=22m=12.故22m=14,所以m=32.故选B.2.椭圆2xm+24y=1的焦距为2,则m的值为()(A)6或2(B)5(C)3或5(D)1或9C解析:由题意得,c=1,当焦点在x轴上时,则a2=m,b2=4,c2=m-4=1,解得m=5;当焦点在y轴上时,则a2=4,b2=m,c2=4-m=1,解得m=3,综上,m的值为3或5.故选C.B3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()(A)45(B)35(C)25(D)15解析:由题意有2a+2c=2·2b,即a+c=2b.又c2=a2-b2,消去b整理,得5c2=3a2-2ac,即5e2+2e-3=0,所以e=35或e=-1(舍去).故选B.4.一个圆经过椭圆216x+24y=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.解析:设圆心为(a,0)(a0),则半径为4-a,则(4-a)2=a2+22,解得a=32,故圆的方程为(x-32)2+y2=254.答案:(x-32)2+y2=2545.一个顶点为(0,2),离心率e=12,坐标轴为对称轴的椭圆方程为.解析:(1)当椭圆焦点在x轴上时,由已知得b=2,e=ca=12,所以a2=163,b2=4,所以方程为2316x+24y=1.答案:2316x+24y=1或24y+23x=1(2)当椭圆焦点在y轴上时,由已知得a=2,e=ca=12,所以a2=4,b2=3,所以方程为24y+23x=1.题型一由椭圆的方程研究椭圆的性质课堂探究解:(1)把已知方程化成标准方程为225y+x2=1,则a=5,b=1.所以c=251=26,因此,椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=2,两个焦点分别是F1(0,-26),F2(0,26),椭圆的四个顶点分别是A1(0,-5),A2(0,5),B1(-1,0),B2(1,0).【例1】(1)求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.(2)已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m0)的离心率e=32,求椭圆的长轴长、短轴长、焦点.解:(2)方程可化为2xm+23ymm=1(m0),所以a=m,b=3mm,c2=223mmm.又e=32,则34=22(3)mmmm,所以m=1,从而a=1,b=12,c=32.所以椭圆的长轴长2a=2,短轴长2b=1,焦点坐标F1(-32,0),F2(32,0).方法技巧(1)解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a,b,c之间的关系和定义,就可以得到椭圆相应的几何性质.(2)已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式的先化成标准形式,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型.(3)焦点位置不确定的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.即时训练1-1:设椭圆mx2+4y2=4m(m0)的离心率为12,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.解:椭圆方程可化为24x+2ym=1.(1)当0m4时,a=2,b=m,c=4m,所以e=ca=42m=12,得m=3,所以b=3,c=1.所以椭圆的长轴长和短轴长分别是4,23,焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0),顶点坐标为A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-3),B2(0,3).(2)当m4时,a=m,b=2,所以c=4m,所以e=ca=4mm=12,得m=163,所以a=433,c=233,所以椭圆的长轴长和短轴长分别为833,4,焦点坐标为F1(0,-233),F2(0,233),顶点坐标为A1(0,-433),A2(0,433),B1(-2,0),B2(2,0).题型二由椭圆的几何性质求椭圆方程解:(1)设椭圆方程为22xa+22yb=1(ab0).如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高).且|OF|=c,|A1A2|=2b,所以b=c=4,所以a2=b2+c2=32,故所求椭圆的标准方程为232x+216y=1.【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8;(2)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,其离心率为12,焦距为8;解:(2)由题意知,2c=8,c=4,所以e=ca=4a=12,所以a=8,从而b2=a2-c2=48,所以椭圆的标准方程是264y+248x=1.(3)椭圆过(3,0),离心率e=63.解:(3)若焦点在x轴上,则a=3,因为e=ca=63,所以c=6,所以b2=a2-c2=9-6=3.所以椭圆的标准方程为29x+23y=1.若焦点在y轴上,则b=3,因为e=ca=221ba=291a=63,解得a2=27.所以椭圆的标准方程为227y+29x=1.综上可知,所求椭圆的标准方程为29x+23y=1或227y+29x=1.根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,应根据题意求出a,b的值,然后确定焦点所在的坐标轴,若焦点位置不确定需分类讨论.易错警示即时训练2-1:(1)已知椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为43,则C的方程为()(A)23x+22y=1(B)23x+y2=1(C)212x+28y=1(D)212x+24y=1解析:(1)由题意及椭圆的定义知4a=43,则a=3,又ca=3c=33,所以c=1,所以b2=2,所以C的方程为23x+22y=1.故选A.答案:(1)A解析:(2)2a=10,c=4,所以a2=25,b2=a2-c2=9.焦点在x轴上,故标准方程为225x+29y=1.(2)椭圆的长轴长为10,一焦点坐标为(4,0),则它的标准方程为;答案:(2)225x+29y=1(3)椭圆的长轴长为6,F为一个焦点,A是一个顶点,O为原点,cos∠OFA=23,则它的标准方程为.解析:(3)因为F是焦点且cos∠OFA=23,所以A为短轴端点,所以|OF|=c,|AF|=a=3,所以3c=23.所以c=2,b2=a2-c2=5.故方程为29x+25y=1或25x+29y=1.答案:(3)29x+25y=1或25x+29y=1椭圆的离心率题型三【例3】(1)设F1,F2分别是椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为()(A)33(B)36(C)13(D)16解析:(1)如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|,|F1F2|=3|PF2|.由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|,即a=232PF,2c=|F1F2|=3|PF2|,即c=232PF,则e=ca=232PF·223PF=33.故选A.答案:(1)A(2)设F1,F2分别是椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点,M为直线y=2b上的一点,△F1MF2是等边三角形,则椭圆C的离心率为()(A)714(B)77(C)277(D)3714解析:(2)因为△F1MF2是等边三角形,故M(0,2b),|MF1|=|F1F2|,即224bc=2c,即4b2+c2=4c2,又b2=a2-c2,所以4(a2-c2)+c2=4c2,即4a2=7c2,则e2=22ca=47,故e=277(负值舍去),故选C.答案:(2)C(3)已知椭圆22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,点M(a,b)满足MF2平分∠F1MA,那么椭圆的离心率为.解析:(3)依题意,点F2(c,0)到直线F1M:bx-(a+c)y+bc=0的距离等于|F2A|=a-c,即220bcbcbac=a-c,所以4b2c2=(a-c)2[b2+(a+c)2],因为b2+c2=a2,所以(a-c)2[b2+(a+c)2]=2a(a-c)2(a+c)=2ab2(a-c),所以2c2=a(a-c),两边同除以a2,得2e2+e-1=0,解得e=12(舍去e=-1).答案:(3)12求椭圆的离心率的思路一是先求a,c,再计算e;二是依据条件的信息,结合有关知识和a,b,c,e的关系,构造关于e的方程,再求解,求解时应注意离心率e的范围是(0,1).方法技巧即时训练3-1:(1)如图,直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为()(A)15(B)25(C)5