2019年高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5

2.3等差数列的前n项和课标要求:1.掌握等差数列的前n项和公式,了解推导等差数列前n项和公式的方法——倒序相加法.2.能够利用等差数列的前n项和公式进行有关的计算.3.掌握等差数列前n项和的最值问题的解法.4.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.5.理解an与Sn的关系,会利用这种关系解决有关的问题.自主学习知识探究1.数列的前n项和的概念一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an.2.前n项和Sn与通项an的关系若数列{an}的前n项和为Sn,则a1=S1.当n≥2(n∈N*)时,Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an①,Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1②.①-②得Sn-Sn-1=an.因此an与Sn的关系式为an=11,1,,2.nnSnSSn3.等差数列的前n项和公式首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列{an}的前n项和为Sn=,首项为a1,公差为d,项数为n的等差数列{an}的前n项和为Sn=.12()2naa1(1)2nndna4.等差数列的前n项和公式的推导设Sn是等差数列{an}的前n项和,d为{an}的公差,Sn=a1+a2+a3+…+an.方法一(倒序相加法)Sn=a1+a2+…+an-1+an,倒序得Sn=an+an-1+…+a2+a1,两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1).由等差数列的性质得a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1,所以有Sn=12nnaa①.这就是等差数列的前n项和公式①.又an=a1+(n-1)d,代入①式,得Sn=na1+(1)2nnd②.方法二(通项公式法)因为an=a1+(n-1)d,所以Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]=na1+[d+2d+…+(n-1)d]=na1+[1+2+…+(n-1)]d=na1+(1)2nnd.5.前n项和的最值设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则(1)当a10,d0时,Sn有最大值S1=a1,无最小值.(2)当a10,d0时,数列{an}只有前面的有限项为非负数,从某项开始其余所有项均为负数,所以Sn有最大值,无最小值.(3)当a10,d0时,数列{an}只有前面的有限项为负数,从某项开始其余所有项均为非负数,所以Sn有最小值,无最大值.(4)当a10,d0时,Sn有最小值S1=a1,无最大值.(5)当d=0时,数列{an}为常数列.(2)若等差数列共有2n-1项,则S2n-1=(2n-1)an;若等差数列共有2n项,则S2n=n(an+an+1).6.等差数列前n项和的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式不难推证等差数列的前n项和具有如下性质:(1)项数的“等和”性质:Sn=12nnaa=12mnmnaa.(3)项的个数的“奇偶”性质①若等差数列的项数为2n(n∈N*),则S偶-S奇=nd,SS奇偶=1nnaa;②若等差数列的项数为2n-1(n∈N*),则S奇-S偶=an,SS奇偶=1nn(S奇=nan,S偶=(n-1)an).(4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则nnab=2121nnST,mnab=2121nm·2121mnST.(5)“片段和”性质:等差数列{an}中,公差为d,前k项的和为Sk,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S(m-1)k,…构成公差为k2d的等差数列.自我检测1.在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S5等于()(A)10(B)20(C)30(D)40C解析:S5=5×2+5(51)2×2=30.2.记在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列的前11项和S11等于()(A)58(B)88(C)143(D)176B解析:S11=11111()2aa=4811()2aa=11162=88.故选B.解析:因为S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,所以S2+(S6-S4)=2(S4-S2),所以4+(S6-20)=2(20-4),所以S6=48.故选D.3.记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则S6等于()(A)42(B)44(C)46(D)48D解析:由等差数列可得a1+a4+a7=3a4=15,解得a4=5;a3+a6+a9=3a6=3,解得a6=1.因此S9=192aa×9=462aa×9=27.4.等差数列{an}中,若a1+a4+a7=15,a3+a6+a9=3,则S9=.答案:27解析:因为{an}是等差数列,所以S2m-1=2112maa×(2m-1)=(2m-1)am=10(2m-1)=110,m=6.5.记等差数列{an}前n项和为Sn.若am=10,S2m-1=110,则m的值为.答案:6题型一等差数列前n项和的基本运算课堂探究【例1】(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=6,a1=4,则公差d等于()(A)1(B)53(C)-2(D)3解析:(1)由S3=133()2aa=6,且a1=4,得a3=0,则d=3131aa=-2,故选C.答案:(1)C(2)在等差数列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列{an}的前n项和,则S11等于()(A)18(B)99(C)198(D)297(3)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=.解析:(2)因为a3+a9=27-a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,所以S11=112(a1+a11)=11a6=99.故选B.(3)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由已知,得12191118,9899,2aadSad解得13,1.ad所以S16=16×3+16152×(-1)=-72.答案:(2)B(3)-72方法技巧(1)等差数列运算问题的通性通法①等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.②等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.(2)等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a-d,a,a+d;若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.即时训练1-1:(1)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于()(A)12(B)13(C)14(D)15(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=12,S4=20,则S6等于()(A)16(B)24(C)36(D)48(2)因为S4=2+6d=20,所以d=3,故S6=3+15d=48.故选D.解析:(1)由题意得S5=155()2aa=5a3=25,故a3=5,公差d=a3-a2=2,a7=a2+5d=3+5×2=13.故选B.(3)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于()(A)-6(B)-4(C)-2(D)2解析:(3)法一(基本量法)设公差为d,则8a1+28d=4a1+8d,即a1=-5d,a7=a1+6d=-5d+6d=d=-2,所以a9=a7+2d=-6.法二(性质法)根据等差数列的定义和性质可得S8=4(a3+a6),又S8=4a3,所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.故选A.题型二等差数列前n项和的最值问题解:设等差数列{an}的公差为d,由S5=S12得5a1+10d=12a1+66d,d=-18a10.法一Sn=na1+12nnd=na1+12nn·(-18a1)=-116a1(n2-17n)=-116a1(n-172)2+28964a1,因为a10,n∈N*,所以当n=8或n=9时,Sn有最大值.【例2】等差数列{an}的首项a10,设其前n项和为Sn,且S5=S12,则当n为何值时,Sn有最大值?法二设此数列的前n项和最大,则10,0,nnaa即11111(1)()0,81()0,8anaana解得9,8,nn即8≤n≤9,又n∈N*,所以当n=8或n=9时,Sn有最大值.法三由于Sn=na1+12nnd=2dn2+(a1-2d)n,设f(x)=2dx2+(a1-2d)x,则函数y=f(x)的图象为开口向下的抛物线,由S5=S12知,抛物线的对称轴为x=5122=172(如图所示),由图可知,当1≤n≤8时,Sn单调递增;当n≥9时,Sn单调递减.又n∈N*,所以当n=8或n=9时,Sn最大.方法技巧求等差数列前n项和Sn最值的三种方法(1)函数法利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解.(2)邻项变号法①a10,d0时,满足10,0mmaa的项数m使得Sn取得最大值为Sm;②当a10,d0时,满足10,0mmaa的项数m使得Sn取得最小值为Sm.(3)通项公式法求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可.一般地,等差数列{an}中,若a10,且Sp=Sq(p≠q),则①若p+q为偶数,则当n=2pq时,Sn最大;②若p+q为奇数,则当n=12pq或n=12pq时,Sn最大.解:法一由S3=S11,可得3a1+322d=11a1+11102d,即d=-213a1.从而Sn=2dn2+(a1-2d)n=-113a(n-7)2+4913a1,因为a10,所以-113a0.故当n=7时,Sn最大.即时训练2-1:等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a10,S3=S11,则当n为多少时,Sn取得最大值.法二由法一可知,d=-213a1.要使Sn最大,则有10,0,nnaa即11112(1)()0,132()0,13anaana解得6.5≤n≤7.5,故当n=7时,Sn最大.题型三等差数列前n项和的性质及应用解:法一设{an}的首项为a1,公差为d.11110109100,211001009910,2adad解得a1=10.99,d=-0.22,故S110=110a1+12×110×109d=-110.【例3】已知{an}为等差数列,前10项的和为S10=100,前100项的和S100=10,求前110项的和S110.法二设{an}的前n项和Sn=An2+Bn,则10010100,1000010010,ABAB解得A=-11100,B=11110,所以S110=12100A+110B=110(110A+B)=-110.法三因S100-S10=a11+a12+…+a100=1110090()2aa=-90,所以a1+a110=a11+a100=-2.所以S110=1110110()2aa=110(2)2=-110.法四数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设其公差为D,前10项和10S10+1092·D=S100=10⇒D=-22,所以S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120.所以S110=-120+S100=-110.方法技巧求数列的前n项和有着不同的途径,特别是运用一些等差数列的性质和等差数列前n项和的性质使问题解决变得很简单.熟练掌握性质,可以大大减少运算量,提高正确率.即时训练3-1:(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()(A)63(B)45(C)36(D)27解析