2019年高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第二课时 数列的性质和递推公式课件

第二课时数列的性质和递推公式课标要求:1.了解数列递推公式的概念;知道递推公式是给出数列的一种方法.2.能根据数列的递推公式写出数列.3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性,会求数列中的最大(小)项.4.了解数列的周期性,能解决相关的简单问题.自主学习知识探究1.递推公式的定义如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式.拓展:类似bn=an·an+1的式子不是递推公式,它只是说明数列{bn}中的各项是由数列{an}中的项an与an+1的积构成的.2.理解数列的递推公式的注意点(1)与“不一定所有数列都有通项公式”一样,并不是所有的数列都有递推公式.(2)用递推公式给出一个数列,必须给出;①“基础”——数列{an}的第1项(或前几项);②递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.拓展:数列表示方法的优缺点优点缺点通项公式法便于求出数列中任意指定的一项,利于对数列性质进行研究一些数列的通项公式表示比较困难列表法内容具体、方法简单,给定项的序号,易得相应项要确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难图象法能直观形象地表示出随着序号的变化,相应项变化的趋势数列项数较多时用图象表示比较困难递推公式法可以揭示数列的一些性质,如前后几项之间的关系不容易了解数列的全貌,计算也不方便3.由递推公式求通项公式的方法给出递推公式求通项公式,常用方法有:(1)从特例入手,归纳、猜想数列的通项公式,一般是依次写出前几项,观察项与项的序号的关系,从中寻找规律;(2)从一般入手,抓住递推公式,充分运用迭代、累加、累乘等常用方法推导通项公式.4.数列单调性的判断(1)利用数列单调性的定义:①作差法:即作差an+1-an后与0比较.若an+1-an0对于任意n(n∈N*)恒成立,则数列{an}是递增数列;若an+1-an0对于任意n(n∈N*)恒成立,则数列{an}是递减数列;若an+1-an=0对于任意n(n∈N*)恒成立,则数列{an}是常数列.②作商法:即作商1nnaa(务必要确定an的符号)后与1比较对于任意n(n∈N*),若an0,则当1nnaa1时,数列{an}是递增数列;当1nnaa1时,数列{an}是递减数列.对于任意n(n∈N*),若an0,则当1nnaa1时,数列{an}是递增数列;当1nnaa1时,数列{an}是递减数列.对于任意n(n∈N*),若an≠0,则当1nnaa=1时,数列{an}是常数列.(2)利用数列的图象直观地判断.5.周期数列的概念对于摆动数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,…,我们观察后可以发现,数列的项-1,1重复出现,用公式表示为an=an+2.若记f(n)=an,则可以表示为f(n)=f(n+2),即数列中的项循环出现,我们称此类数列为周期数列.周期数列的递推公式的一般形式为an+k=an(n∈N*,k∈N*,k≥2),如数列1,2,3,1,2,3,1,2,3,…是周期为3的周期数列,满足an+3=an(n∈N*).6.判断周期数列的方法要判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列,主要方法是通过递推公式求出数列的若干项,观察得到规律或由递推公式直接发现规律.自我检测1.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是()(A)递增数列(B)递减数列(C)常数列(D)不能确定A解析:an+1-an=30,所以an+1an.故选A.2.已知数列{an}中的首项a1=1,且满足an+1=12an+12n,则此数列的第三项是()(A)1(B)12(C)34(D)58C解析:由数列的递推关系,结合a1=1,所以a2=12a1+12=1,a3=12a2+14=34.故选C.3.已知数列{an}满足a1=2,an+1=11nnaa(n∈N*),则a2017=.解析:a1=2,由an+1=11nnaa得,a2=-3,a3=-12,a4=13,a5=2,…所以数列{an}的周期为4,所以a2017=a4×504+1=a1=2.答案:2解析:an=-2(n-294)2+8658,所以当n=7时,an最大.4.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3,则{an}中的最大项是第项.答案:7题型一利用数列的函数性质判断数列的单调性课堂探究【例1】已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)因为f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,所以2log2an-2log2an=-2n,即an-1na=-2n,所以2na+2nan-1=0,解得an=-n±21n.因为an0,所以an=21n-n,n∈N*.解:(2)1nnaa=22(1)1(1)1nnnn=221(1)1(1)nnnn1.因为an0,所以an+1an.所以数列{an}是递减数列.(2)判断数列{an}的增减性.方法技巧根据函数单调性的定义,采用作差法或作商法比较an与an+1的大小关系,从而判断数列{an}的单调性,若an+1an恒成立,则{an}是递增数列;若an+1an恒成立,则{an}是递减数列.解:法一an=3n2-n,an+1=3(n+1)2-(n+1),则an+1-an=3(n+1)2-(n+1)-(3n2-n)=6n+20,即an+1an(n∈N*),故数列{an}是递增数列.即时训练1-1:已知数列{an},其通项公式为an=3n2-n(n∈N*),判断数列{an}的单调性.法二an=3n2-n,an+1=3(n+1)2-(n+1),则1nnaa=223(1)(1)3nnnn=1nn·3231nn1.又an0,故an+1an,即数列{an}是递增数列.(注:这里要确定an的符号,否则无法判断an+1与an的大小)法三令y=3x2-x,则函数的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为x=161,则函数y=3x2-x在(16,+∞)上单调递增,故数列{an}是递增数列.题型二求数列的最大(小)项【例2】已知数列{an}的通项公式an=n2-7n-8.(1)数列中有多少项为负数?解:(1)令an0,即n2-7n-80,得-1n8.又n∈N*,所以n=1,2,3,…,7,数列从第1项至第7项均为负数,共7项.(2)数列{an}是否有最小项?若有,求出其最小项.解:(2)法一an=n2-7n-8是关于n的二次函数,当1≤n≤3时,{an}单调递减;当n≥4时,{an}单调递增,所以当n=3或4时,an最小,且最小项a3=a4=-20.法二设an为数列{an}的最小项,即11,,nnnnaaaa即222278(1)7(1)8,78(1)7(1)8,nnnnnnnn解得3≤n≤4,故当n=3或n=4时,a3=a4是数列中的最小项,且最小项a3=a4=-20.方法技巧本题考查数列的单调性.(1)令an0,求出n的范围,找出范围内的正整数.(2)由an是关于n的二次函数,可结合二次函数的知识,探求数列的最小项;也可利用解不等式组,寻求数列的最小项.应用函数的有关知识解决数列问题时,要注意n的取值是正整数.11,nnnnaaaa即时训练2-1:已知数列{an}的通项公式an=(n+2)·(67)n,试求数列{an}的最大项.解:假设第n项an为最大项,则11,.nnnnaaaa即1166(2)()(1)(),7766(2)()(3)(),77nnnnnnnn解得5,4,nn即4≤n≤5,所以n=4或5,故数列{an}中a4与a5均为最大项,且a4=a5=5467.题型三由数列的递推公式求其通项公式【例3】(1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+1(1)nn,n∈N*,求通项公式an;解:(1)因为an+1-an=1(1)nn=1n-11n,所以a2-a1=112=1-12;a3-a2=123=12-13;a4-a3=134=13-14;…an-an-1=1(1)nn=11n-1n;以上各式累加得,an-a1=1-12+12-13+…+11n-1n=1-1n.所以an+1=1-1n,所以an=-1n.解:(2)因为a1=1,an=(-1n)an-1(n≥2),所以1nnaa=1nn(n≥2),an=1nnaa×12nnaa×23nnaa×…×32aa×21aa×a1=1nn×21nn×32nn×…×23×12×1=1n.又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=1n.(2)设数列{an}中,a1=1,an=(-1n)n-1(n≥2),求通项公式an.方法技巧数列的递推公式求通项公式的常用方法:(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项.(2)累乘法:当1nnaa=g(n)时,常用an=1nnaa·12nnaa·…·21aa·a1求通项.即时训练3-1:(1)已知数列{an},a1=2,an=2an-1(n≥2),求数列的通项公式an;解:(1)因为a1=2,an=2an-1,所以1nnaa=2(n≥2),所以an=1nnaa·12nnaa·…·32aa·21aa·a1=222...222n个=2n(n≥2).当n=1时,a1=2,符合上式,所以an=2n.解:(2)法一分别令n=1,2,…,n-1,有a2=a1+ln2,a3=a2+ln(1+12),…an=an-1+ln(1+11n).以上各式相加得an=a1+ln2+ln32+…+ln1nn=2+lnn.(2)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+1n),求通项公式an.法二由题意可知an+1=an+ln1nn,即an+1-an=ln(n+1)-lnn,于是an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln2-ln1+2=2+lnn.