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2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课标要求:1.理解平面向量数量积的坐标表示,会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两向量的夹角.2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系.自主学习1.两向量数量积的坐标表示设两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=_______________________.2.向量模的坐标表示知识探究x1x2+y1y2(1)若a=(x,y),则︱a︱=________.22xy(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么︱a︱=__________________.221221()()xxyy探究:向量的模的坐标运算实质是什么?提示:向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离,如a=(x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在点A(x,y),使得OA=a=(x,y),所以︱OA︱=︱a︱=22xy,即︱a︱为点A到原点的距离.同样若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),所以︱AB︱=221212()()xxyy,即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式.由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),两向量的夹角为θ,则cosθ=abab=________________.3.两向量垂直的坐标表示非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔_________________.4.向量夹角的坐标表示x1x2+y1y2=0121222221122xxyyxyxy【拓展延伸】(1)公式a·b=︱a︱︱b︱cosa,b与a·b=x1x2+y1y2都是用来求两向量的数量积的,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b=︱a︱︱b︱cosa,b求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解.(2)当x1x2+y1y20时,θ∈（π2,π］;当x1x2+y1y20时,θ∈［0,π2）;当x1x2+y1y2=0时,θ=π2,所以可以用向量数量积的坐标形式判断夹角的范围、三角形的形状等.(3)已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b与a⊥b的坐标表示如下:a∥b⇔x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0;a⊥b⇔x1x2=-y1y2,即x1x2+y1y2=0.两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:纵横交错积相等,横横纵纵积相反.(4)垂直向量的坐标之间的关系:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为坐标平面内的三个点,则AB⊥AC⇔AB·AC=0⇔(x3-x1)(x2-x1)+(y3-y1)(y2-y1)=0.(5)用坐标表示向量b在向量a方向上的投影由于向量b=(x2,y2)在向量a=(x1,y1)方向上的投影为︱b︱cosθ=aba,从而向量b在向量a方向上的投影的坐标表示为12122211xyxxyy.自我检测C1.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c等于()(A)(-15,12)(B)0(C)-3(D)-11解析:因为a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),所以(a+2b)·c=(1-6,-2+8)·(3,2)=-15+12=-3.故选C.2.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)b,则︱c︱等于()(A)42(B)25(C)8(D)82解析:易得a·b=2×(-1)+4×2=6,所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),所以︱c︱=228(8)=82.故选D.D3.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为()(A)-17(B)17(C)-16(D)16A4.给出下列命题:①向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2);②︱︱的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的;③非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y20,反之,若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y20,则它们的夹角为锐角.其中正确的命题有.答案:②5.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为.答案:322题型一平面向量数量积的坐标运算课堂探究【例1】(1)已知点A(1,-2),若向量AB与a=(2,3)同向,且︱AB︱=213,则点B的坐标为()(A)(5,-4)(B)(4,5)(C)(-5,-4)(D)(5,4)(1)解析:设B(x,y),则AB=(x-1,y+2),由AB与a=(2,3)同向,所以3(x-1)=2(y+2),①又︱AB︱=213,所以221)(2)xy（=213,②联立①②解得x-1=4且y+2=6,所以x=5且y=4,故B(5,4),选D.(2)已知向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1).求:①a·b;②(a+b)·(2a-b);③(a·b)c.(2)解:①a·b=1×2+3×5=17.②因为a+b=(3,8),2a-b=2(1,3)-(2,5)=(0,1),所以(a+b)·(2a-b)=3×0+8×1=8.③(a·b)c=17c=17(2,1)=(34,17).变式探究:把(2)中条件“c=(2,1)”变为“c=(2,k)”且“(a-c)⊥b”,求实数k.解:因为a=(1,3),b=(2,5),c=(2,k),所以a-c=(-1,3-k),又(a-c)⊥b,所以-1×2+(3-k)×5=0,所以k=135.方法技巧数量积运算的注意点及运算思路(1)通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化,应注意与函数、方程等知识的联系.(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另一种是坐标式,两者相互补充.即时训练1-1:设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,b∥c,则(a+b)·(a-c)等于()(A)-3(B)5(C)-5(D)15解析:由a⊥c知2x-4=0得x=2,由b∥c知1×(-4)-2y=0得y=-2,(a+b)·(a-c)=a2-a·c+a·b-b·c=-5.故选C.题型二向量的模的问题解析:(1)由y+4=0知y=-4,b=(-2,-4),所以2a-b=(4,8),所以︱2a-b︱=45.故选D.【例2】(1)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则︱2a-b︱等于()(A)4(B)5(C)35(D)45答案:(1)D解析:(2)因为2b=(a+2b)-a=(6,3)-(2,-1)=(4,4),所以b=(2,2).设c=(x,y),则222214,5,xyxy解得3,4xy或4,3,xy所以c=(3,4)或c=(4,3).(2)已知向量a=(2,-1),a+2b=(6,3),b·c=14,︱c︱=5,则向量c的坐标为.答案:(2)(3,4)或(4,3)题后反思(1)要求向量的模需先由条件求出向量的坐标,再求模.(2)已知向量的模求坐标,要设出坐标列方程(组)求解.即时训练2-1:设平面向量a=(cosα,sinα)(0≤α2π),b=（-12,32）,且a与b不共线.(1)求证:向量a+b与a-b垂直;(1)证明:因为a=(cosα,sinα),b=（-12,32）,所以a+b=（cosα-12,sinα+32）,a-b=（cosα+12,sinα-32）,所以(a+b)·(a-b)=（cosα-12）（cosα+12）+（sinα+32）（sinα-32）=cos2α-14+sin2α-34=1-1=0,所以(a+b)⊥(a-b),即向量a+b与a-b垂直.(2)若两个向量3a+b与a-3b的模相等,求角α.(2)解:因为︱3a+b︱=︱a-3b︱,所以(3a+b)2=(a-3b)2,即3a2+23a·b+b2=a2-23a·b+3b2,又︱a︱=22cossin=1,︱b︱=1344=1,所以a·b=0,所以-12cosα+32sinα=0,即tanα=33,又0≤α2π,所以α=π6或7π6.向量的夹角(垂直)问题题型三解析:(1)因为a=(1,3),b=(3,m),所以︱a︱=2,︱b︱=29m,a·b=3+3m,又a,b的夹角为π6,所以abab=cosπ6,即23329mm=32,所以3+m=29m,解得m=3.故选B.【例3】(1)已知向量a=(1,3),b=(3,m).若向量a,b的夹角为π6,则实数m等于()(A)23(B)3(C)0(D)-3解析:(2)由a·b=-10,得(c-b)·a=c·a-b·a=c·a+10=152,所以c·a=-52.设a与c的夹角为θ,则cosθ=acac=5255=-12.因为θ∈[0°,180°],所以θ=120°.故选C.(2)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),︱c︱=5,若(c-b)·a=152,则a与c的夹角为()(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°即时训练3-1:已知a=(4,3),b=(-1,2).(1)求a与b的夹角的余弦;解:(1)因为a·b=4×(-1)+3×2=2,︱a︱=2243=5,︱b︱=2212（）=5,所以cosθ=abab=255=2525.解:(2)因为a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),又(a-λb)⊥(2a+b),所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0,所以λ=529.(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.