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2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示课标要求:1.理解平面向量的坐标的概念,会写出给定向量的坐标.2.掌握平面向量的坐标运算,能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算.3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.会根据平面向量的坐标判断向量是否共线.自主学习1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个_____________的向量,叫做把向量正交分解.2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,我们把有序数对__________叫做向量a的坐标,记作a=__________,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.显然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).知识探究互相垂直(x,y)(x,y)探究1:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任作一向量.根据平面向量基本定理,=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?提示:相同.探究2:如果向量用(x,y)表示,那么向量与实数对(x,y)之间是否一一对应?提示:一一对应.3.平面向量的坐标运算已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a+b=_________________,a-b=_____________________,即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).(2)λa=_____________________(λ∈R),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)注意:若AB=CD,则这两向量的坐标相等,但是这两个向量的具体位置不确定,即线段AB与CD可能在一条直线上,也可能平行.探究3:若把向量OA平移到BC,则OA和BC的坐标相同吗?BC的坐标是C点的坐标吗?提示:相同,BC的坐标不是C点坐标.4.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,当且仅当_________________时,a∥b.x1y2-x2y1=0自我检测DB1.设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴,y轴方向相同的两个单位向量,O为坐标原点,若OA=4i+2j,OB=3i+4j,则2OA+OB的坐标是()(A)(1,-2)(B)(7,6)(C)(5,0)(D)(11,8)2.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线.若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD等于()(A)(-2,-4)(B)(-3,-5)(C)(3,5)(D)(2,4)C3.设k∈R,下列向量中与向量a=(1,-1),一定不平行的是()(A)b=(k,k)(B)c=(-k,-k)(C)d=(k2+1,k2+1)(D)e=(k2-1,k2-1)解析:b,c,e都有可能是0.故选C.答案:-14.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=.5.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且AC=12BC,连接DC延长至E,使︱CE︱=14︱ED︱,则点E的坐标为.答案:(38,-7)题型一向量的坐标表示课堂探究【例1】(1)如图所示,正方形ABCD的中心为坐标原点O,已知A(-1,-1),分别用基底i,j表示OA,OB,OC,CD,BC,并求出它们的坐标.解:(1)由题意得B(1,-1),C(1,1),D(-1,1),所以OA=-i-j=(-1,-1),OB=i-j=(1,-1),OC=i+j=(1,1),︱CD︱=︱CB︱=2且CD,CB分别与x轴,y轴平行,所以CD=-2i=(-2,0),BC=2j=(0,2).(2)已知O是坐标原点,点A在第一象限,︱OA︱=43,∠xOA=60°,求向量OA的坐标.解:(2)如图所示,设A(x,y),利用三角函数的定义可得sin60°=yOA,cos60°=xOA,所以y=︱OA︱·sin60°=43×32=6,x=︱OA︱·cos60°=43×12=23,所以A(23,6),所以OA=(23,6).误区警示利用三角函数的定义确定点的坐标的易失分点在利用三角函数的定义来确定点的坐标时,要明确点所在象限、点到原点的距离、点与原点的连线与x轴正方向的夹角,这些是易出错的.即时训练1-1:(1)在直角坐标系xOy中,向量a,b的方向如图所示,且︱a︱=2,︱b︱=3,分别求出它们的坐标;解:(1)设点A(x,y),B(x0,y0),因为︱a︱=2,且∠AOx=45°,所以x=2cos45°=2,且y=2sin45°=2.又︱b︱=3,∠xOB=90°+30°=120°,所以x0=3cos120°=-32,y0=3sin120°=332.故a=OA=(2,2),b=OB=（-32,332）.(2)已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设OA=a,OB=b,OC=c且︱a︱=2,︱b︱=1,︱c︱=3.求向量AB,BC的坐标.解:(2)如图所示,以点O为原点,OA所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.因为︱OB︱=1,∠AOB=150°,所以B(cos150°,sin150°),所以B（-32,12）.因为︱OC︱=3,所以C(-3sin30°,-3cos30°),即C（-32,-332）.又A(2,0),所以AB=（-32,12）-(2,0)=（-32-2,12）,BC=（-32,-332）-（-32,12）=（332,3312）.题型二平面向量的坐标运算【例2】(1)设a=(1,2),b=(-4,3),求a-2b;解:(1)a-2b=(1,2)-2(-4,3)=(1,2)-(-8,6)=(1+8,2-6)=(9,-4).(2)已知两点M(3,-2)和N(-5,-1),点P满足MP=12MN,求点P的坐标.解:(2)由已知M(3,-2)和N(-5,-1),可得12MN=12(-5-3,-1+2),即12MN=（-4,12）.设点P的坐标是(x,y),则MP=(x-3,y+2).由已知MP=12MN,可得(x-3,y+2)=（-4,12）,所以34,122xy，解得1,3.2xy所以点P的坐标是（-1,-32）.方法技巧平面向量的坐标运算方法在进行平面向量的坐标运算时,应先将平面向量用坐标的形式表示出来,再根据向量的坐标运算法则进行计算(坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标分别等于两个向量相应坐标的和与差,数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积).即时训练2-1:设AB=(2,3),BC=(m,n),CD=(-1,4),则DA等于()(A)(1+m,7+n)(B)(-1-m,-7-n)(C)(1-m,7-n)(D)(-1+m,-7+n)解析:DA=-AD=-(AB+BC+CD)=(-1-m,-7-n).故选B.向量共线的坐标表示题型三【例3】(1)已知向量a=(1,2),b=(λ,1),若(a+2b)∥(2a-2b),求λ的值;解:(1)法一a+2b=(1,2)+2(λ,1)=(1+2λ,4),2a-2b=2(1,2)-2(λ,1)=(2-2λ,2),由(a+2b)∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0,解得λ=12.法二假设a,b不共线,则由(a+2b)∥(2a-2b)可得a+2b=μ(2a-2b),从而1=22=2，，方程组显然无解,即a+2b与2a-2b不共线,这与(a+2b)∥(2a-2b)矛盾,从而假设不成立.故应有a,b共线,所以1=21,即λ=12.(2)已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判断AB与CD是否共线,如果共线,它们的方向相同还是相反?解:(2)AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3),CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6),因为(-2)×(-6)-3×4=0,所以AB,CD共线,又CD=-2AB,所以AB,CD方向相反.综上,AB与CD共线且方向相反.方法技巧向量共线的判定方法:(1)利用向量共线定理:由a=λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.即时训练3-1:(1)已知OA=(3,4),OB=(7,12),OC=(9,16),求证:A,B,C三点共线;(1)证明:因为AB=OB-OA=(4,8),AC=OC-OA=(6,12),所以AC=32AB,即AB与AC共线.又因为AB与AC有公共点A,所以A,B,C三点共线.(2)设向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),求当k为何值时,A,B,C三点共线.(2)解:法一因为A,B,C三点共线,故AB,AC共线,所以存在实数λ,使得AB=λAC,因为AB=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(10-k,k-12),所以(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即4(10),7(12kkk），解得k=-2或k=11.所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.法二由题意知AB,AC共线.因为AB=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(10-k,k-12),所以(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,所以k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.