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2.2.3向量数乘运算及其几何意义课标要求:1.结合实例,理解并掌握向量数乘的定义及其规定.2.理解两向量共线的含义,能利用共线定理解决简单几何问题.3.掌握向量数乘的运算律,能据此进行有关向量线性运算.自主学习1.向量的数乘运算一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个_______________,这种运算叫做_______________,记作_________,它的长度与方向规定如下:(1)︱λa︱=_____________;(2)当λ0时,λa的方向与a的方向__________;当λ0时,λa的方向与a的方向_________;λ=0时,λa=______.知识探究向量向量的数乘︱λ︱︱a︱相同相反0λa探究:如何从代数和几何两个角度看数乘向量呢?提示:(1)代数角度:λ是实数,a是向量,它们的积仍是向量;另外,λa=0的条件是λ=0或a=0.(2)几何角度:对于向量的长度而言,①当︱λ︱1时,有︱λa︱︱a︱,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ1)或反方向(λ-1)上伸长到︱a︱的︱λ︱倍;②当0︱λ︱1时,有︱λa︱︱a︱,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0λ1)或反方向(-1λ0)上缩短到︱a︱的︱λ︱倍.2.向量数乘的运算律设λ,μ为实数,那么(1)λ(μa)=______________;(2)(λ+μ)a=________________;(3)λ(a+b)=______________.特别地,有(-λ)a=-(λa)=__________;λ(a-b)=_____________.3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使_____________.4.向量的线性运算向量的___________________运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=__________________.(λμ)aλa+μaλa+λbλ(-a)λa-λbb=λa加、减、数乘λμ1a±λμ2bSS【拓展延伸】(1)λ是实数,a是向量,它们的积λa仍然是向量,实数与向量可以相乘,但是不能相加减,如λ+a,λ-a均没有意义.(2)对于非零向量a,当λ=1a时,λa表示a方向上的单位向量.(3)注意向量数乘的特殊情况:①若λ=0,则λa=0;②若a=0,则λa=0.应该特别注意的是结果是向量0,而非实数0.(4)要清楚向量数乘与实数乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.(5)向量共线定理的理解注意点及主要应用①定理中a≠0不能漏掉.若a=b=0,则实数λ可以是任意实数;若a=0,b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa.②这个定理可以用一般形式给出:若存在不全为0的一对实数t,s,ta+sb=0,则a与b共线;若两个非零向量a与b不共线,且ta+sb=0,则必有t=s=0.③向量共线定理主要用来证明两条直线平行、三点共线问题,通过定理把两条直线平行、三点共线这样的几何问题转化为寻求实数λ的代数问题即可.自我检测BD2.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则()(A)k=0(B)k=1(C)k=2(D)k=121.设a是非零向量,λ是非零实数,则以下结论正确的有()(1)a与-λa的方向相反;(2)︱-λa︱≥︱a︱;(3)a与λ2a方向相同;(4)︱-2λa︱=2︱λ︱︱a︱.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个A3.D是△ABC的边AB上的中点,则向量CD等于()(A)-BC+12BA(B)-BC-12BA(C)BC-12BA(D)BC+12BA解析:如图,CD=CB+BD=CB+12BA=-BC+12BA.故选A.4.如图所示,设O是△ABC内部一点,且OA+OC=-2OB,则△ABC与△AOC的面积之比为.解析:取AC的中点D,连接OD,则OA+OC=2OD,所以OB=-OD,所以O是AC边上的中线BD的中点,所以S△ABC=2S△AOC,所以△ABC与△AOC面积之比为2.答案:25.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.答案:12题型一向量的线性运算课堂探究(2)原式=12（2a+32b）-a-34b=a+34b-a-34b=0.【例1】计算:(1)3(6a+b)-9（a+13b）;(2)12［(3a+2b)-（a+12b）］-2（12a+38b）;(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.解:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.误区警示(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,但这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.(2)对于线性运算,把握运算顺序为运算律去括号→数乘向量→向量加减.常因计算顺序弄错导致结果不正确.解析:将原等式变形为2y-23a-12c-12b+32y+b=0,即72y-23a-12c+12b=0,72y=23a-12b+12c,所以y=27（23a-12b+12c）=421a-17b+17c.即时训练1-1:若2（y-13a）-12(c+b-3y)+b=0,其中a,c,b为已知向量,则未知向量y=.答案:421a-17b+17c题型二用已知向量表示未知向量【例2】如图所示,E,F分别是四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,已知AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,求向量EF.解:法一连接AF.因为AC=AB+BC=a+b,E是AC的中点,所以AE=12AC=12(a+b).又因为BD=BC+CD=b+c,F是BD的中点,所以BF=12BD=12(b+c),所以AF=AB+BF=a+12(b+c),所以EF=AF-AE=a+12(b+c)-12(a+b)=12(a+c).法二连接AF.因为AC=AB+BC=a+b,E是AC的中点,所以AE=12AC=12(a+b).因为DB=DA+AB=d+a,F是DB的中点,所以DF=12DB=12(d+a).所以AF=DF-DA=12(d+a)-d=12(a-d).所以EF=AF-AE=12(a-d)-12(a+b)=-12(b+d).方法技巧(1)用已知向量表示未知向量的依据是三角形法则与平行四边形法则以及数乘向量的意义.(2)求解时①注意利用相等向量、相反向量进行转化;②结合图形中的中点、重心等特殊位置转化求解.即时训练2-1:(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB等于()(A)34AB-14AC(B)14AB-34AC(C)34AB+14AC(D)14AB+34AC解析:EB=ED+DB=12AD+12CB=12×12(AB+AC)+12(AB-AC)=34AB-14AC.故选A.向量共线定理的应用题型三(1)证明:因为AB=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,而BC=(a-3b)-(3a+b)=-(2a+4b)=-2AB,所以AB与BC共线,且有公共点B,所以A,B,C三点共线.【例3】设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A,B,C三点共线;(2)解:因为8a+kb与ka+2b共线,所以存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b),即(8-λk)a+(k-2λ)b=0.因为a与b不共线,所以80,20,kk解得λ=±2,所以k=2λ=±4.(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;(3)证明:因为M,P,N三点共线,O为直线外一点,所以存在实数x,y,使得OP=xOM+yON,且x+y=1.又因为OP=αa+βb,且a,b不共线,所以OP=xma+ynb=αa+βb,所以xm=α,yn=β,所以m+n=x+y=1.(3)若OM=ma,ON=nb,OP=αa+βb,其中m,n,α,β均为实数,m≠0,n≠0,若M,P,N三点共线,求证:m+n=1.方法技巧(1)要证明向量a,b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa(a≠0)即可.(2)应用向量共线定理可以证明A,B,C三点共线问题,也可以证明平面几何中两直线平行问题.