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2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义课标要求:1.掌握向量加法的定义,会用三角形法则和平行四边形法则求(作)两个向量的和向量.2.理解向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行简单的向量运算.自主学习1.向量加法的定义及运算法则知识探究和定义求两个向量_______的运算,叫做向量的加法加法法则三角形法则前提已知非零向量a,b,在平面内任取一点A作法结论图形作AB=a,BC=b,再作向量AC向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=______AC加法法则平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a,b,在平面内任取一点O作法以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作▱OACB结论图形规定零向量与任一向量a的和都有a+0=__________=_______.对角线______就是a与b的和OC0+aa探究1:︱a+b︱与︱a︱和︱b︱之间的大小关系如何?提示:当a与b同向共线时,a+b与a,b同向,且︱a+b︱=︱a︱+︱b︱.当a与b反向共线时,若︱a︱︱b︱,则a+b与a的方向相同,且︱a+b︱=︱a︱-︱b︱;若︱a︱︱b︱,则a+b与b的方向相同,且︱a+b︱=︱b︱-︱a︱.当a与b不共线时,由三角形法则知,︱a+b︱︱a︱+︱b︱.探究2:向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系?提示:向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别:①三角形法则中强调“首尾相连”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联系:当两个向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.2.向量加法的运算律(1)交换律:a+b=___________.(2)结合律:(a+b)+c=_______________.b+aa+(b+c)自我检测D2.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是()C1.下列等式错误的是()(A)a+0=a(B)a+b=b+a(C)a+(b+c)=(a+b)+c(D)AB+AC=BC(A)AB=CD,BC=AD(B)AD+OD=DA(C)AO+OD=AC+CD(D)AB+BC+CD=DAA3.a,b为非零向量,且︱a+b︱=︱a︱+︱b︱,则()(A)a∥b,且a与b方向相同(B)a,b是共线向量且方向相反(C)a=b(D)a,b无论什么关系均可解析:结合向量运算的三角形法则:︱a+b︱≤︱a︱+︱b︱.当a与b共线且同向时,有︱a+b︱=︱a︱+︱b︱.故选A.4.设a表示“向东走了2km”,b表示“向南走了2km”,c表示“向西走了2km”,d表示“向北走了2km”,则(1)a+d表示向走了km;(2)b+c表示向走了km;(3)a+c+d表示向走了km;(4)b+c+d表示向走了km.答案:(1)东北22(2)西南22(3)北2(4)西2解析:︱AB+BC+AD+DC︱=︱2AC︱=22.5.已知正方形ABCD的边长为1,则︱AB+BC+AD+DC︱等于.答案:22题型一向量加法的两种法则课堂探究【例1】如图,已知两个不共线的非零向量a,b,求作a+b.解:法一在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b.则OB=a+b.法二在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,以OA,OB为邻边作▱OACB,连接OC,则OC=OA+OB=a+b.误区警示两种法则应用的误区利用向量的三角形法则求a+b,务必使它们的“首尾顺次连接”,利用平行四边形法则求a+b,务必使它们的起点重合.解:如图所示:在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,则OB=a+b.即时训练1-1:已知两非零向量a,b(如图所示)求作a+b.题型二向量的加法运算【例2】如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式:解:(1)BC+CE+EA=BE+EA=BA.(1)BC+CE+EA;(2)OE+AB+EA;(3)AB+FE+DC.(2)OE+AB+EA=(OE+EA)+AB=OA+AB=OB(3)AB+FE+DC=AB+BD+DC=AD+DC=AC.方法技巧向量加法运算的方法(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.(2)要灵活应用加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.解析:①AB+BC+CA=AC+CA=0;即时训练2-1:已知点A,B,C,D,M,O为不重合的点,则下列各式中结果为0的个数为.①AB+BC+CA;②AB+MB+BO+OM;③OA+OC+BO+CO;④AB+CA+BD+DC.②原式=(AB+BO)+(OM+MB)=AO+OB=AB≠0;③原式=OA+(BO+OC)+CO=OA+(BC+CO)=OA+BO=BA≠0;④原式=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0.故结果为0的为①④.答案:2向量在平面几何中的应用题型三【例3】如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:AB+AC=AP+AQ.证明:因为AB=AP+PB,AC=AQ+QC,而由题知BP=QC,所以PB+QC=0,所以AB+AC=AP+AQ+(PB+QC)=AP+AQ.方法技巧向量加法几何意义的应用利用向量加法的几何意义解决平面几何问题的基本思想是把平面几何图形中的有关线段转化为向量,然后利用向量加法的几何意义,对相关向量进行合理转化求解.证明:AE=AB+BE,FC=FD+DC,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC.因为FD=BE,且FD与BE的方向相同,所以FD=BE,所以AE=FC,即AE与FC平行且相等,所以四边形AECF是平行四边形.即时训练3-1:如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F,E,使BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.