2019年高考数学二轮复习 专题一 常考基础题 第6讲 创新性问题课件 新人教A版

第6讲创新性问题核心整合创新性问题包括:①以原有知识为模型,或者以新数表为背景的创新性问题;②以新概念、新定义进行迁移,以新运算给出的发散型创新题;③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题;④以新知识为载体给出的背景新颖的创新题;⑤以图形为背景的创新性问题等.核心突破考点一函数概念理解迁移问题【例1】设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(ⅰ)T={f(x)|x∈S};(ⅱ)对任意x1,x2∈S,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是()(A)A=N*,B=N(B)A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0x≤10}(C)A={x|0x1},B=R(D)A=Z,B=Q解析:对选项A,取f(x)=x-1,x∈N*,所以A=N*,B=N是“保序同构”的,应排除A;对选项B,取f(x)=28,1,1,10,1,03,xxxxx所以A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0x≤10}是“保序同构”的,应排除B;对选项C,取f(x)=tan(πx-π2)(0x1),所以A={x|0x1},B=R是“保序同构”的,应排除C.故选D.方法技巧概念迁移问题,要透过题目本身去看概念的本质,从而解决问题.【题组训练】1.规定[t]为不超过t的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5]=-4.对任意实数x,令f1(x)=[4x],g(x)=4x-[4x],进一步令f2(x)=f1[g(x)].(1)若x=,则f1(x)=,f2(x)=;(2)若f1(x)=1,f2(x)=3同时满足,则x的取值范围为.716解析:(1)因为x=716时,4x=74,所以f1(716)=[74]=1.因为g(716)=74-[74]=34,所以f2(x)=f1[g(x)]=f1(34)=[3]=3.(2)因为f1(x)=[4x]=1,g(x)=4x-1,所以f2(x)=f1(4x-1)=[16x-4]=3.所以142,31644,xx所以716≤x12.答案:(1)13(2)[716,12)解析:因为函数f(x)=2x与g(x)=2x的图象相交于点A(1,2),B(2,4),由图可知,[m,n]⊆[1,2],故|m-n|max=2-1=1.2.对于函数f(x),如果存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数),使得对于区间D上的一切实数x都有f(x)≤g(x)成立,则称函数g(x)为函数f(x)在区间D上的一个“覆盖函数”,设f(x)=2x,g(x)=2x,若函数g(x)为函数f(x)在区间[m,n]上的一个“覆盖函数”,则|m-n|的最大值为.答案:1考点二以新运算给出的发散型创新题【例2】定义一种运算:1122xyxy=x1y2-x2y1,则复数z=3i13ii(i是虚数单位)的共轭复数是.解析:由定义可知,z=3i13ii=(3+i)·i-(-1)·(3-i)=3i+i2+3-i=(3-1)i+3-1,所以z=(3-1)+(1-3)i.答案:(3-1)+(1-3)i方法技巧(1)理解新定义的内涵和运算规则;(2)联系相关知识点,运用新定义的方法进行运算.【题组训练】解析:由题意知a·b=2×5cosθ=-6,解得cosθ=-35.由0≤θ≤π,得sinθ=45.所以|a×b|=|a|·|b|·sinθ=2×5×45=8.故选B.B1.定义:|a×b|=|a|·|b|·sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于()(A)-8(B)8(C)-8或8(D)62.定义运算acbd=ad-bc,复数z满足i1iz=1+i,则复数z的模为.解析:由i1iz=1+i,得zi-i=1+i⇒z=12ii=2-i,故|z|=2221=5.答案:5考点三以新概念、新定义给出的信息迁移创新题【例3】在实数集R中,我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“”.定义如下:对于任意两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R),z1z2,当且仅当“a1a2”或“a1=a2且b1b2”.按上述定义的关系“”,给出如下四个命题:①若z1z2,则|z1||z2|;②若z1z2,z2z3,则z1z3;③若z1z2,则对于任意z∈C,z1+zz2+z;④对于复数z0,若z1z2,则zz1zz2.其中所有真命题的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:对于复数z1=2+i,z2=1-3i,显然满足z1z2,但|z1|=5,|z2|=10,不满足|z1||z2|,故①不正确;设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,由z1z2,z2z3可得“a1a3”或“a1=a3且b1b3”,故②正确;设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z=a+bi,由z1z2可得“a1a2”或“a1=a2且b1b2”.显然有“a1+aa2+a”或“a1+a=a2+a且b1+bb2+b”,从而z1+zz2+z,故③正确;对于复数z1=2+i,z2=1-3i,显然满足z1z2,令z=1+i,则zz1=(1+i)(2+i)=1+3i,zz2=(1+i)(1-3i)=4-2i,显然不满足zz1zz2,故④错误.综上②③正确,故选B.方法技巧(1)理解新概念的要求和本质,联系相关知识,在新概念的要求下解决问题;(2)新定义并非来源于一个真正的“数学前沿”的实际问题,而是某个“旧定义”的转化,解题时只是要求考生再“转化回去”.【题组训练】(A)存在有限集S,S是一个“和谐集”(B)对任意无理数a,集合{x|x=ka,k∈Z}都是“和谐集”(C)若S1≠S2,且S1,S2均是“和谐集”,则S1∩S2≠(D)对任意两个“和谐集”S1,S2,若S1≠R,S2≠R,则S1∪S2=R1.设S是实数集R的非空子集,如果∀a,b∈S,有a+b∈S,a-b∈S,则称S是一个“和谐集”.下面命题为假命题的是()D解析:S={0}是有限集且也是“和谐集”,A正确;任意m,n∈{x|x=ka,k∈Z},则存在k1,k2∈Z有m=k1a,n=k2a,则m+n=(k1+k2)a,m-n=(k1-k2)a.因为k1,k2∈Z,所以k1+k2∈Z,k1-k2∈Z,所以m+n∈{x|x=ka,k∈Z},m-n∈{x|x=ka,k∈Z},故{x|x=ka,k∈Z}是“和谐集”,B正确;根据“和谐集”的定义可知,任意“和谐集”都包含元素0,所以0∈S1∩S2,即S1∩S2≠,C正确;S1={x|x=2k,k∈Z},S2={x|x=3k,k∈Z},则S1,S2都是“和谐集”,但5∉S1∪S2,所以S1∪S2≠R,D不正确,故选D.2.对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题:①若点C在线段AB上,则||AC||+||CB||=||AB||;②在△ABC中,若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2;③在△ABC中,||AC||+||CB||≥||AB||.其中真命题的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3C解析:对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.设C点坐标为(x0,y0),①若点C在线段AB上,x0在x1,x2之间,y0在y1,y2之间,则||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||.③在△ABC中,||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|(x0-x1)+(x2-x0)|+|(y0-y1)+(y2-y0)|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||.所以命题①③成立,而命题②在△ABC中,若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2明显不成立,故选C.考点四以情境为载体给出的背景新颖的创新题【例4】计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如,用十六进制表示:E+D=1B,则A×B等于()(A)6E(B)72(C)5F(D)B0解析:我们用符号[x](10),[y](16)分别表示十进制和十六进制中的数.则有A×B=[10×11](10)=[110](10)=[6×16+14](10)=6E.故选A.方法技巧本题情境新颖有三:(1)数符新颖,除熟悉的0,1,…,9这10个数字之外,还有新数字A,B,C,D,E,F.(2)数制新颖,十六进制.(3)数意新颖,十六进制中的数11,如果说个位数上的1与十进制中的1“数意”相同的话,那么十位数上的1则是另外一种“数意”了.【题组训练】(A)85cm2(B)610cm2(C)355cm2(D)20cm2B1.用长度分别为2,3,4,5,6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为()解析:在周长一定的n边形中,正n边形面积最大.按照我们所普遍了解的事实,调整3个边尽可能的相等:7,7,6.此时三角形面积为610cm2.故选B.(A)514(B)514(C)534(D)5342.我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.其作法如下:①作一个正方形ABCD;②以AD的中点E为圆心,以EC长为半径作圆,交AD延长线于F;③以D为圆心,以DF长为半径作☉D;④以A为圆心,以AD长为半径作☉A交☉D于G,则△ADG为黄金三角形.根据上述作法,可以求出cos36°等于()B解析:不妨假设AD=2,则DG=DF=EC-1=5-1,故cos36°=222251222=514,故选B.考点五以新图表为背景的创新性问题【例5】如图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段,,的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则()(A)x1x2x3(B)x1x3x2(C)x2x3x1(D)x3x2x1解析:依题意,有x1=50+x3-55=x3-5,所以x1x3,同理,x2=30+x1-20=x1+10,所以x1x2,同理,x3=30+x2-35=x2-5,所以x3x2,故选C.方法技巧用新图示、新表格、新符号陈述题设或提出问题的新题目.图、表、符号等都是数学语言,设计题目的方法是先将“自然语言”翻译成这种“特殊语言”.解题的关键是要先把这种“特殊语言”再翻译成“自然语言”.【题组训练】A1.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算⊕和⊗如下:那么d⊗(a⊕c)等于()(A)A(B)b(C)c(D)d解析:直接读图知,a⊕c=b;d⊗b=a.故选A.2.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则函数f(x)的最小正周期为;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为.说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC沿x轴负方向滚动.解析:如图给出了正方形PABC一个完整周期的滚动情况.