2019年高考数学二轮复习 专题一 常考基础题 第4讲 不等式与线性规划课件 新人教A版

第4讲不等式与线性规划核心整合1.不等式的性质(1)比较两个实数大小的法则设a,b∈R,则:①ab⇔;②a=b⇔;③ab⇔.a-b0a-b=0a-b0性质性质内容注意对称性ab⇔ba⇔传递性ab,bc⇒ac⇒可加性ab⇔a+cb+c⇔ab,c0⇒acbc可乘性ab,c0⇒acbcc的符号同向可加性ab,cd⇒a+cb+d⇒同向同正可乘性ab0,cd0⇒acbd⇒可乘方性ab0⇒anbn(n∈N,n≥1)可开方性ab0⇒nanb(n∈N,n≥2)同正(2)不等式的基本性质【归纳拓展】不等式的一些常用性质(1)倒数性质①ab,ab0⇒1a1b.②a0b⇒1a1b.③ab0,0cd⇒acbd.④0axb或axb0⇒1b1x1a.(2)有关分数的性质若ab0,m0,则:①真分数的性质babmam;babmam(b-m0).②假分数的性质abambm;abambm(b-m0).2.基本不等式(1)基本不等式ab≤2ab①基本不等式成立的条件:.a0,b0②等号成立的条件:当且仅当时取等号.a=b(2)几个重要的不等式a2+b2≥(a,b∈R);ba+ab≥(a,b同号).ab≤(2ab)2(a,b∈R);(2ab)2222ab(a,b∈R).2ab2≤【归纳拓展】已知x0,y0,则:(1)如果积xy是定值P,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2P(简记:积定和最小);(2)如果和x+y是定值P,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是24P(简记:和定积最大).3.线性规划问题(1)二元一次不等式表示的平面区域①一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)边界直线,把边界直线画成虚线.不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域(半平面)边界直线,把边界直线画成实线;②对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),使得Ax+By+C的值符号相同,也就是位于同一半平面的点,如果其坐标满足Ax+By+C0,则位于另一个半平面内的点,其坐标满足;③可在直线Ax+By+C=0的同一侧任取一点,一般取特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的就可以判断Ax+By+C0(或Ax+By+C0)所表示的区域;④由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的.不包括包括Ax+By+C0符号公共部分(2)线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式线性约束条件由x,y的一次不等式组成的不等式组目标函数关于x,y的函数解析式,如z=2x+3y等线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题核心突破考点一不等式的性质及解法【例1】(1)下面四个条件中,使ab成立的充分不必要条件是()(A)()2ab(B)acbc(C)a2b2(D)a-b1解析:(1)对于选项A,由(2ab)2ab,可得a2+2ab+b24ab,即a2-2ab+b20,(a-b)20,故（2ab）2ab不能推出ab成立,故A不符合题意;对于选项B,由acbc,可得(a-b)c0,当c0时,ab成立,当c≤0时,ab不成立,故B不符合题意;对于选项C,由a2b2,可得(a+b)(a-b)0,不能推得ab成立,故C不符合题意;对于选项D,由a-b1,可得a-b10,即ab,由ab不能推得ab+1,即a-b1成立,故a-b1是ab成立的充分不必要条件,故D符合题意.2ab答案:(1)D解析:(2)因为x0,所以当a≤1时,(a-1)x-10恒成立.所以[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0不可能恒成立.所以a1.对于x2-ax-1=0,设其两根为x2,x3,且x2x3,易知x20,x30.又当x0时,原不等式恒成立,通过y=(a-1)x-1与y=x2-ax-1图象可知x1=11a必须满足方程x2-ax-1=0,即x1=x3,代入解得a=32或a=0(舍去).答案:(2)32(2)设a∈R,若x0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=.方法技巧(1)利用不等式的性质进行综合问题判断时,可以采用特殊值法;(2)利用一元二次方程和一元二次不等式的关系,求出解集.【题组训练】1.若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则()解析:法一易知a,b,c都是正数,ba=3ln44ln3=log81641,所以ab,bc=5ln44ln5=log62510241,所以bc,即cba.法二对于函数y=f(x)=lnxx,y'=21lnxx,易知当xe时,函数f(x)单调递减.因为e345,所以f(3)f(4)f(5),即cba.B(A)abc(B)cba(C)cab(D)bac2.设abc0,x=22abc,y=22bca,z=22cab,则x,y,z的大小关系是.(用“”连接)解析:法一y2-x2=2c(a-b)0,所以yx.同理,zy,所以zyx.法二令a=3,b=2,c=1,则x=18,y=20,z=26,故zyx.答案:zyx解析:因为f(x)=x2+ax+b的值域为[0,+∞),所以Δ=0,所以b-24a=0,所以f(x)=x2+ax+24a=（x+2a）2.又因为f(x)c的解集为(m,m+6),所以m,m+6是方程x2+ax+24a-c=0的两根.由一元二次方程根与系数的关系,得226,6,4maammc解得c=9.3.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.答案:9考点二利用基本不等式求最值【例2】(1)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为()(A)0(B)1(C)94(D)3解析:(1)由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,所以xyz=2234xyxxyy=143xyyx.又x,y,z为正实数,所以xy+4yx≥4,当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2.所以2x+1y-2z=22y+1y-222y=-（1y）2+2y=-（1y-1）2+1,当1y=1,即y=1时,上式有最大值1.答案:(1)B(2)设a+b=2,b0,则12a+ab的最小值为.解析:(2)因为a+b=2,b0,所以b=2-a0,得a2.令t=12a+ab=4aba+ab,①当0a2时,t=4aba+ab=14+4ba+ab≥14+214=54,当且仅当4ba=ab,即b=2a,a=23∈(0,2)时,t取得最小值为54.②当a0时,t=-4aba-ab=-14+（-4ba）+（-ab）≥-14+214=34,当且仅当-4ba=-ab,即b=-2a,a=-2时,t取得最小值为34.因为5434,所以12a+ab的最小值为34.答案:(2)34方法技巧(1)知和求积的最值.求解此类问题的关键:明确“和为定值,积有最大值”.但应注意以下两点:①具备条件——正数;②验证等号成立;(2)知积求和的最值.明确“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但要注意利用基本不等式求最值的条件;(3)构造不等式求最值.在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数1”的替换,构造不等式求解.【题组训练】1.已知0ab,且a+b=1,下列不等式中,一定成立的是()①log2a-1;②log2a+log2b-2;③log2(b-a)0;④log2（ba+ab）1.(A)①②(B)③④(C)②③(D)①④解析:因为0ab,且a+b=1,当a=13,b=23时,log2a=log213log212=-1,故①错误;因为0ab,且a+b=1,所以1=a+b2ab,即ab14,所以log2a+log2blog214=-2,故②错误;因为0ab,且a+b=1,所以0b-a1,所以log2(b-a)log21=0,故③正确;因为0ab,且a+b=1,所以ba+ab2baab=2,log2（ba+ab）log22=1,故④正确,故选B.B2.(2017·衢州模拟)已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,则(1+1a)(1+1b)的最小值为.解析:（1+1a）(1+1b)=(1+aba)(1+abb)=(2+ba)·(2+ab)=5+2(ba+ab)≥5+4=9.当且仅当a=b=12时,取等号.答案:93.(2017·嘉兴模拟)已知函数f(x)=4x+ax(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.解析:因为x0,a0,所以f(x)=4x+ax≥24axx=4a,当且仅当4x=ax时等号成立,此时a=4x2,由已知x=3时函数取得最小值,所以a=4×9=36.答案:36考点三给出条件求最值或取值范围【例3】已知a0,b0,a+b=1,则1a+1b+1ab的最小值为.解析:1a+1b+1ab=2(1a+1b),因为a+b=1,a0,b0,所以1a+1b=aba+abb=2+ab+ba≥2+2=4,所以1a+1b+1ab≥8(当且仅当a=b=12时等号成立).答案:8方法技巧利用基本不等式求最值时,要充分利用基本不等式及其变形,同时注意基本不等式成立的条件.对不等式作适当变形,变出基本不等式的形式,然后利用基本不等式进行求解.【题组训练】D解析:因为2x0,2y0,所以1=2x+2y≥222xy=22xy,故2xy≤12,即2x+y≤14=2-2,所以x+y≤-2.故选D.1.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()(A)[0,2](B)[-2,0](C)[-2,+∞)(D)(-∞,-2]2.已知a,b为正实数,直线x+y+a=0与圆(x-b)2+(y-1)2=2相切,则21ab的取值范围是.解析:因为x+y+a=0与圆(x-b)2+(y-1)2=2相切,所以d=12ba=2,所以a+b+1=2,即a+b=1,所以21ab=211bb=214141bbb=(b+1)+41b-4≥24-4=0.又因为a,b为正实数,所以21ab的取值范围是(0,+∞).答案:(0,+∞)3.已知正数a,b满足2a2+b2=3,则a21b的最大值为.解析:a21b=221ab=22×2221ab≤22×12(2a2+b2+1)=24×(3+1)=2.当且仅当2a=21b,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1时,等号成立.所以a21b的最大值为2.答案:2【例4】在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组220,210,380xyxyxy所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为()(A)2(B)1(C)-13(D)-12考点四二元一次不等式(组)表示的平面区域解析:不等式组220,210,380xyxyxy所表示的平面区域如图阴影部分,由图可知,当M与C重合时,直线OM斜率最小.由210,380,xyxy得C(3,-1),所以直线OM斜率的最小值为kOC=-13.故选C.方法技巧(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是:“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组.若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部