2019年高考数学二轮复习 专题五 直线与圆、圆锥曲线 第7讲 圆锥曲线中的综合问题（二）课件 新人

第7讲圆锥曲线中的综合问题(二)核心突破考点一定点与定值问题【例1】(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C:22xa+22yb=1(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,32),P4(1,32)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(1)解:由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点,又由21a+21b21a+234b知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此22211,131,4bab解得224,1.ab故C的方程为24x+y2=1.(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|2,可得A,B的坐标分别为(t,242t),(t,-242t).则k1+k2=2422tt-2422tt=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m≠1).(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.将y=kx+m代入24x+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2841kmk,x1x2=224441mk.而k1+k2=111yx+221yx=111kxmx+221kxmx=12121221kxxmxxxx.由题设知k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)·224441mk+(m-1)·2841kmk=0.解得k=-12m.当且仅当m-1时,Δ0,于是l:y=-12mx+m,即y+1=-12m(x-2),所以l过定点(2,-1).方法技巧(1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(2)对于直线过定点问题,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).【题组训练】1.如图,已知椭圆Γ:22xa+22yb=1(ab0)经过不同的三点A(52,54),B(-12,-34),C(C在第三象限),线段BC的中点在直线OA上.解:(1)由点A,B在椭圆Γ上,得2222551,416191,416abab解得225,25.8ab所以椭圆Γ的方程为252x+258y=1.(1)求椭圆Γ的方程及点C的坐标;设点C(m,n),则BC的中点D(214m,438n),由已知,求得直线OA的方程为x-2y=0,从而m=2n-1.①又点C在椭圆Γ上,故2m2+8n2=5.②由①②解得n=34(舍去)或n=-14,从而m=-32,所以点C的坐标为(-32,-14).解:(2)设P(x0,y0),M(2y1,y1),N(2y2,y2).因为P,B,M三点共线,故1134122yy=003412yx,整理得y1=000032421xyyx.因为P,C,N三点共线,故2214322yy=001432yx,(2)设点P是椭圆Γ上的动点(异于点A,B,C)且直线PB,PC分别交直线OA于M,N两点,问|OM|·|ON|是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.整理得y2=00006421xyyx.因为点P在椭圆Γ上,故220x+820y=5,即20x=52-420y.从而y1y2=00002003261621xyxyyx=2200002200003201216441xxyyyxxy=2200000053420122516412yxyyxy=0000354231642xyxy=516.所以|OM|·|ON|=5|y1|·5|y2|=5|y1y2|=2516为定值.2.(2018·台州调研)已知椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)经过点M(2,2),且离心率为22.(1)求a,b的值,并写出椭圆C的方程;解:(1)由题知,24a+22b=1,ca=22,a2=b2+c2,解得a=22,b=2,所以椭圆C的方程为28x+24y=1.(2)设A,B分别为椭圆C的左、右顶点,在椭圆C上有异于A,B的动点P,若直线PA,PB与直线l:x=m(m为常数)分别交于不同的两点M,N,则当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过定点?解:(2)A(-22,0),B(22,0),设PA,PB斜率分别为k1,k2,则PA,PB方程分别为y=k1(x+22),y=k2(x-22),所以M(m,k1(m+22)),N(m,k2(m-22)),所以圆方程为(x-m)2+[y-k1(m+22)][y-k2(m-22)]=0,即(x-m)2+y2-[k1(m+22)+k2(m-22)]y+k1k2(m2-8)=0,设点P(x0,y0),则208x+204y=1,20y=4(1-208x),所以k1k2=0022yx·0022yx=20208yx=-12,所以(x-m)2+y2-[k1(m+22)+k2(m-22)]y-12(m2-8)=0,由y=0,得(x-m)2-12(m2-8)=0,所以(x-m)2=12(m2-8),当m2-80,即-22m22时,方程无实数解,该圆不经过定点,当m2-8≥0,即m≥22或m≤-22时,x=m±2282m,即定点为Q(m±2282m,0).考点二最值问题【例2】(2017·浙江卷)如图,已知抛物线x2=y,点A(-12,14),B(32,94),抛物线上的点P(x,y)(-12x32),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;解:(1)设直线AP的斜率为k,k=21412xx=x-12,因为-12x32,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)求|PA|·|PQ|的最大值.解:(2)联立直线AP与BQ的方程110,24930,42kxykxkyk解得点Q的横坐标是xQ=224321kkk.因为|PA|=21k(x+12)=21k(k+1),|PQ|=21k(xQ-x)=-22111kkk,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f′(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间(-1,12)上单调递增,在(12,1)上单调递减,因此当k=12时,|PA|·|PQ|取得最大值2716.方法技巧(1)圆锥曲线中隐含的最值问题①椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长).②双曲线两支上两点间最小距离为2a(实轴长).③抛物线上的点中,与准线的距离最小值为2p(顶点与准线的距离).④椭圆焦半径的取值范围为[a-c,a+c].⑤抛物线的焦点弦长最小值为2p(通径).(2)解圆锥曲线中的最值问题常用方法①几何法:通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解.②代数法:把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数,利用函数方法、不等式方法、三角函数有界性等进行求解.1.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()(A)33(B)23(C)22(D)1C解析:设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t0),则FP=(2pt2-2p,2pt).由已知得FM=13FP,所以22,2362,3pppxtpty所以22,332,3ppxtpty所以kOM=2221tt=112tt≤1122=22,所以(kOM)max=22,故选C.2.(2018·嵊州二模)如图,已知直线l:y=kx+m与椭圆E:23x+y2=1交于A,B两点,与单位圆O:x2+y2=1相切于点M,直线OM与椭圆E相交于C,D两点.(1)求|AB|(用k表示);解:(1)因为直线l与圆O相切,所以21mk=1,即m2=k2+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由22,13ykxmxy消去y整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.所以x1+x2=-2613kmk,x1x2=223313mk,且Δ=36k2m2-4(1+3k2)(3m2-3)=24k2.故|AB|=21k|x1-x2|=22226113kkk.(2)记四边形ACBD的面积为S1,△AOB的面积为S2,求122SS的最小值.解:(2)因为AB⊥CD,所以直线CD方程为y=-1kx.代入23x+y2=1得x2=2233kk,y2=233k.所以|CD|=222xy=222313kk.所以122SS=21212ABCDAB=2·CDAB=2·22222231326113kkkkk=2222133kkk.设t=1+3k2,则122SS=2·22119ttt=2·2911871tt=3212178181632t≥32×1942=249=83.即122SS的最小值为83.考点三范围问题【例3】已知椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)与双曲线23x-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C的标准方程;解:(1)因为双曲线的离心率为233,所以椭圆的离心率e=ca=32.又因为直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点,所以右顶点为(2,0),即a=2,c=3,b=1,所以椭圆C的方程为24x+y2=1.(2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.解:(2)由题意可设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).联立22,1,4ykxmxy消去y,并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,则x1+x2=-2814kmk,x1x2=224114mk,于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,故11yx·22yx=22121212kxxkmxxmxx=k2-222814kmk+m2=0.由m≠0得k2=14,解得k=±12.又由Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)0,得0m22,显然m2≠1(否则x1x2=0,x1,x2中至少有一个为0,直线OM,ON中至少有一个斜率不存在,与已知矛盾).设原点O到直线l的距离为d,则S△OMN=12|MN|·d=12·21mk·21k·|x1-x2|=12|m|212124xxxx=2211m.故由m2的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1).方法技巧解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或根的判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的