2019年高考数学二轮复习 专题五 直线与圆、圆锥曲线 第3讲 椭圆、双曲线的离心率课件 新人教A版

第3讲椭圆、双曲线的离心率核心整合1.离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据,椭圆标准方程中a,b,c的关系是b2=a2-c2,离心率e=ca∈(0,1),双曲线标准方程中a,b,c的关系是b2=c2-a2,离心率e=ca∈(1,+∞),抛物线的离心率为1.2.在椭圆中,离心率越大,椭圆越扁,离心率越小,椭圆越圆;在双曲线中,离心率越大,双曲线的开口越大.【温馨提示】(1)圆锥曲线离心率的问题,通常有两类:一是求椭圆和双曲线的离心率;二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围.(2)一般来说,求椭圆(或双曲线)的离心率,只需要由条件得到一个关于基本量a,b,c,e的一个方程,就可以从中求出离心率.【归纳拓展】椭圆、双曲线的离心率常用求法:(1)直接求出a,c,求解离心率e;(2)寻找a,b,c之间的关系,求解e,构造a,c的齐次式,解出离心率e;(3)数形结合,利用图形的几何特征,寻找a,c之间的不等关系;(4)构造函数求解,或利用基本不等式等知识求解.核心突破考点一求椭圆、双曲线的离心率【例1】(2017·全国Ⅱ卷)若双曲线C:22xa-22yb=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()(A)2(B)3(C)2(D)233解析:双曲线的一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,圆(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),半径为2.依题意可得222rd=2,即24d=1,所以d=3.又d=222bba=3,所以4b2=3c2,所以4(c2-a2)=3c2,所以22ca=4,即e2=4.所以e=2.故选A.方法技巧双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:(1)求出a,c,代入公式e=;(2)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式两边分别除以a或a2转化为关于e的方程,解方程,即可得e(e的取值范围).ca【题组训练】1.(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()(A)63(B)33(C)23(D)13A解析:以A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,因为直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以222abab=a得a2=3b2,由a2=b2+c2得e=63,故选A.2.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()(A)2(B)2(C)3(D)5A解析:设双曲线方程为22xa-22yb=1(a0,b0),如图所示,|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,则∠MBN=60°,在Rt△BMN中,|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°,即有|BN|=2acos60°=a,|MN|=2asin60°=3a,故点M的坐标为M(2a,3a),代入双曲线方程得224aa-223ab=1,即为a2=b2,即c2=2a2,则e=ca=2.故选A.3.已知F1,F2是椭圆22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆上,且∠F1PF2=π2,线段PF1与y轴的交点为Q,O为坐标原点,若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2,则该椭圆的离心率等于()(A)2-3(B)23-3(C)3-1(D)4-23C解析:画出图形如图所示.设Q(0,m)(m0),P(x,y)(y0),因为△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2,所以△F1OQ与△F1PF2的面积之比为1∶3,所以12×c×m=13×(12×2c×y),解得m=23y.又my=cxc,所以x=cym-c=2c.因为∠F1PF2=π2,所以1PF·2PF=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2-c2+y2=0.所以y2=c2-x2=34c2.将x=2c和y2=34c2代入椭圆方程得222ca+2234cb=1,整理得e2+2231ee=4,即e4-8e2+4=0,解得e2=4-23或e2=4+23(舍去),所以e=423=3-1.故选C.4.(2017·全国Ⅰ卷)已知双曲线C:22xa-22yb=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.解析:双曲线方程为22xa-22yb=1,双曲线的渐近线bx-ay=0与圆相交,则A(a,0)到直线bx-ay=0的距离为22abab=abc,又∠MAN=60°,故d=32b.所以abc=32b,故e=ca=233.答案:233考点二求椭圆、双曲线离心率的取值范围【例2】已知双曲线方程为224xm-22yb=1,若其过焦点的最短弦长为2,则该双曲线的离心率的取值范围是()(A)(1,62](B)[62,+∞)(C)(1,62)(D)(62,+∞)解析:过焦点的最短弦长有可能是2a或是过焦点垂直于长轴所在直线的弦长为22ba=2224bm,a2=m2+4≥4,2a≥42,所以过焦点的最短弦长为22ba=2224bm=2,即b2=24m≥2,e=ca=22244mbm=422bbb=211b,021b≤12,所以11+21b≤32,1211b≤62,即e∈(1,62].故选A.方法技巧求离心率的取值范围一般考虑几何图形的特点,比如角的大小、线段的长短、椭圆(双曲线)本身的范围等,利用基本不等式、三角函数的有界性、二次方程有实根等,找到a,c之间的不等关系,从而解出离心率的取值范围.【题组训练】1.已知双曲线E:22xa-22yb=1(a0,b0)的右顶点为A,抛物线C:y2=8ax的焦点为F.若在E的渐近线上存在点P,使得AP⊥FP,则E的离心率的取值范围是()(A)(1,2)(B)(1,324](C)[324,+∞)(D)(2,+∞)B解析:由题意得,A(a,0),F(2a,0),设P(x0,bax0),由AP⊥FP,得AP·PF=0⇒2202cxa-3ax0+2a2=0,因为在E的渐近线上存在点P,则Δ≥0,即9a2-4×2a2×22ca≥0⇒9a2≥8c2⇒e2≤98⇒e≤324,又因为E为双曲线,则1e≤324.故选B.2.(2018·镇海模拟)设椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)的右焦点为F,椭圆C上的两点A,B关于原点对称,且满足FA·FB=0,|FB|≤|FA|≤3|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围为()(A)[22,1)(B)[22,3-1](C)[3-1,1)(D)[22,32]B解析:如图所示,作出椭圆左焦点,由椭圆的对称性可知,四边形AFBF′为平行四边形,又FA·FB=0,即FA⊥FB,故平行四边形AFBF′为矩形,所以|AB|=|FF′|=2c.设∠ABF=α(0απ2),则在直角三角形ABF中,|FA|=2csinα,|FB|=2ccosα.由|FB|≤|FA|≤3|FB|得2ccosα≤2csinα≤23ccosα,化简得到1≤tanα≤3,解得α∈[π4,π3].由椭圆定义与性质可知|AF′|+|AF|=2a,化简得到c=π2sin4a,故椭圆离心率为e=ca=π2sin4a.因为α∈[π4,π3],所以α+π4∈[π2,7π12].而sin7π12=sin(π4+π3)=22×12+22×32=264,故sin(α+π4)∈[624,1],因此e∈[22,3-1].3.已知P为双曲线Γ:22xa-22yb=1(a0,b0)与圆x2+y2=c2的一个公共点,F1(-c,0),F2(c,0)分别为双曲线Γ的左、右焦点,设|PF1|=k|PF2|,若k∈(1,2],则双曲线Γ的离心率的取值范围是.解析:由题知|PF1|2+|PF2|2=4c2,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=k|PF2|,所以(k2+1)|PF2|2=4c2,(k-1)|PF2|=2a,两式做比值可得2211kk=(ca)2=e2,而2211kk=22121kkk=1+2221kkk=1+212kk,又k∈(1,2],所以k+1k∈(2,52],故2211kk∈[5,+∞),所以e∈[5,+∞).答案:[5,+∞)阅卷评析圆与圆锥曲线关系【典例】(15分)(2016·浙江卷)如图,设椭圆22xa+y2=1(a1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);解:(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AM,……………………………………1分由2221,1,ykxxya得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,………………………………………………………………3分故x1=0,x2=-22221akak.因此|AM|=21k|x1-x2|=22221akak·21k.……………………………………5分解:(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点Ρ,Q,满足|AΡ|=|AQ|.………………………………………………………………7分记直线AΡ,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1≠k2.由(1)知,|AP|=2211221211akkak,|AQ|=2222222211akkak,故2211221211akkak=2222222211akkak,所以(21k-22k)[1+21k+22k+a2(2-a2)2212kk]=0.(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.由k1≠k2,k1,k20得1+21k+22k+a2(2-a2)2212kk=0,因此(211k+1)(221k+1)=1+a2(a2-2).①………………………………………………11分因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1.所以a2.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a≤2,由e=ca=21aa得0e≤22.所以椭圆离心率的取值范围为(0,22].…………………………………………15分【答题启示】本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法及二次函数的综合应用等.解题要点:第一小题是突破口,要有直线方程与椭圆联立方程的意识,利用弦长公式求得答案;第二小题正难则反的思想,从而得到题中所要求的范围.