2019年高考数学二轮复习 专题五 直线与圆、圆锥曲线 第1讲 直线与圆课件 新人教A版

专题五直线与圆、圆锥曲线考情概览年份题型·题号·分值题涉考点难度2018选择题·2·4分双曲线的几何性质易填空题·17·4分直线与椭圆的位置关系易解答题·21·15分直线与抛物线的位置关系中2017选择题·2·4分椭圆的几何性质易解答题·21·15分直线与抛物线的位置关系、弦长问题中2016选择题·7·5分椭圆、双曲线的几何性质易填空题·9·4分抛物线的定义易解答题·19·15分直线与椭圆的位置关系、弦长问题、椭圆的离心率中2015选择题·5·5分抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,三角形面积公式易填空题·9·6分双曲线的几何性质易解答题·19·15分椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、对称问题中2014填空题·16·4分直线与双曲线的位置关系、双曲线几何性质易解答题·21·15分直线与椭圆的位置关系、椭圆几何性质、点到直线距离中说明2016年以前文理科题序相同时没有特别标注,题序不同时进行标注,文理只是考查难度不同,涉及知识点基本一致第1讲直线与圆名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y=.与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率.两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直线核心整合1.直线方程的五种形式112121yyxxyyxx1xyabkx+by-y0=k(x-x0)2.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2.(2)两条直线垂直如果两条直线l1,l2斜率都存在,设斜率分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线.3.圆的方程(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),圆心为,半径为.(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),圆心为半径为.k1=k2平行k1·k2=-1垂直(a,b)r,22DE2242DEF4.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理:切线的性质定理,切线长定理,垂径定理.(2)两个公式:点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=0022AxByCAB.弦长公式|AB|=222rd(弦心距d).【温馨提示】讨论两条直线位置关系时,要注意斜率是否存在.【归纳拓展】1.直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).3.两直线垂直的充要条件直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0.4.过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.5.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)以线段AB(A(x1,y1),B(x2,y2))为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.6.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离:4条.(2)当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.7.点关于直线的对称若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,且连接P1P2的直线垂直于对称轴l,由方程组121212120,22,xxyyABCAyyBxx可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中A≠0,x1≠x2).核心突破考点一直线的方程及两条直线的位置关系【例1】(1)如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是()(A)3(B)6(C)2(D)2(1)解析:直线AB的方程为x+y=4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0).则光线经过的路程为|CD|=2262=210.故选C.(2)解:①法一当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:y=-2ax-3,l2:y=11ax-(a+1),l1∥l2⇔1,2131,aaa解得a=-1,综上可知,a=-1时,l1∥l2.(2)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.①试判断l1与l2是否平行;法二由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0,由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0,所以l1∥l2⇔21120,1160aaaa⇔2220,16aaaa⇒a=-1,故当a=-1时,l1∥l2.解:②法一当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,故a=0不成立;当a≠1且a≠0时,l1:y=-2ax-3,l2:y=11ax-(a+1),由(-2a)·11a=-1⇒a=23.法二由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0⇒a=23.②当l1⊥l2时,求a的值.方法技巧(1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.(3)解决对称问题的方法中心对称:①点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足2,2.xaxyby①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点A′(m,n),则有1,0.22nbAmaBambnABC②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.轴对称:②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.【题组训练】1.已知点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则点P到直线l的距离d的最大值为()B解析:由(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0,得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,此方程是过直线x+y-2=0和3x+2y-5=0交点的直线系方程.解方程组20,3250,xyxy可知两直线的交点为Q(1,1),故直线l恒过定点Q(1,1),如图所示,可知d=|PH|≤|PQ|=10,即d的最大值为10.故选B.(A)23(B)10(C)14(D)215解析:法一当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知22321kkk=24521kkk,即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-13.所以直线l的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.2.直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为.法二当AB∥l时,有k=kAB=-13,直线l的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当l过AB的中点时,AB的中点为(-1,4).所以直线l的方程为x=-1.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.答案:x+3y-5=0或x=-13.若圆上一点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,则圆的方程是.解析:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,说明圆心在直线x+2y=0上,即有a+2b=0,又(2-a)2+(3-b)2=r2,而圆与直线x-y+1=0相交的弦长为22,故r2-12ab2=2,依据上述方程,解得26,3,52abr或214,7,244.abr所以,所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.答案:(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=2444.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0a2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a的值.解:由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1在y轴上的截距为2-a,直线l2在x轴上的截距为a2+2,所以四边形的面积S=12×2×(2-a)+12×2×(a2+2)=a2-a+4=(a-12)2+154,当a=12时,面积最小.考点二圆的方程解析:因为圆C和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1),所以过点(4,-1)的直径所在直线的斜率为-6,其方程为y+1=-6(x-4),即y=-6x+23.又因为圆心在以(4,-1),(9,6)两点为端点的线段的中垂线y-52=-57(x-132),即5x+7y-50=0上,【例2】已知圆C和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1),且经过点(9,6),则圆C的方程为.由623,57500,yxxy解得圆心坐标为(3,5),所以半径为229365=37,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-5)2=37.答案:(x-3)2+(y-5)2=37方法技巧(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.解析:由题意可知,圆心在过点C(-1,2)且垂直于直线l的直线x-2y+5=0上,设圆心M(2y0-5,y0)(y00),由点M到直线2x+6y-5=0的距离为310得,0041065210yy=310,所以y0=152(舍去-92),即圆心M的坐标为(10,152),【题组训练】1.圆心在x轴上方的圆M经过直线l:2x+y+4=0与圆C:x2+y2+2x-4y=0的交点,且圆心M到直线2x+6y-5=0的距离为310,则圆M的方程为.则可设圆M的方程为x2+y2-20x-15y+D=0(D6254).联立直线l与圆C的方程可得直线l与圆C的一个交点为(-2,0),且此点在圆M上,代入圆M的方程得D=-44,故圆M的方程为x2+y2-20x-15y-44=0.答案:x2+y2-20x-15y-44=02.已知圆x2+y2-2x-4y+a=0上有且仅有两个点到直线3x-4y-15=0的距离为1,则实数a的取值范围为.解析:法一因为与直线3x-4y-15=0平行且距离为1的两条直线分别为3x-4y-10=0和3x-4y-20=0,易得圆心(1,2)到直线3x-4y-10=0的