2019年高考数学二轮复习 专题四 函数概念、基本初等函数及导数 第4讲 利用导数研究函数的单调性、

第4讲利用导数研究函数的单调性、极值及最值核心整合1.导数与导函数的概念(1)一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是0limxyx=000limxfxxfxx,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=0limxyx=000limxfxxfxx.(2)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数称为函数y=f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=.3.基本初等函数的导数公式f′(x0)基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=.f(x)=xα(α∈Q*)f′(x)=.f(x)=sinxf′(x)=.f(x)=cosxf′(x)=.f(x)=exf′(x)=.0αxα-1cosx-sinxexf(x)=ax(a0,且a≠1)f′(x)=f(x)=lnxf′(x)=1xf(x)=logax(a0,且a≠1)f′(x)=1lnxaaxlna4.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有(1)[f(x)±g(x)]′=;(2)[f(x)·g(x)]′=;f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)(3)[fxgx]′=2fxgxfxgxgx(g(x)≠0).(2)[1fx]′=-2fxfx(f(x)≠0).5.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=,即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.【归纳拓展】(1)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.yu′·ux′y对uu对x(3)[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x).(4)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.【温馨提示】(1)复合函数求导时,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元.(2)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.6.函数的单调性、极值(1)在某个区间(a,b)内,如果f′(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.(2)函数的极值一般地,求函数y=f(x)的极值的方法解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时:①如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极小值.f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)07.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在(a,b)内的;②将函数y=f(x)的各与处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.f(a)f(b)f(a)f(b)极值极值端点【归纳拓展】(1)在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.(2)可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.【温馨提示】(1)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.核心突破考点一导数的计算【例1】求下列函数的导数.(1)y=x2sinx;(2)y=lnx+;(2)y′=(lnx+1x)′=(lnx)′+(1x)′=1x-21x.1x解:(1)y′=(x2)′·sinx+x2·(sinx)′=2xsinx+x2cosx.(3)y=cosexx;(4)y=sin(2x+π3);解:(3)y′=(cosexx)′=2cosecoseexxxxx=-sincosexxx.(4)设u=2x+π3,则y=sinu,则y′=(sinu)′·u′=cos(2x+π3)·2所以y′=2cos(2x+π3).解:(5)令u=2x-5,则y=lnu,则y′=(lnu)′·u′=125x·2=225x,即y′=225x.(5)y=ln(2x-5).方法技巧(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这样可避免使用商的求导法则,减少运算量.(2)复合函数求导时,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元.【题组训练】1.f(x)=x(2016+lnx),若f′(x0)=2017,则x0等于()(A)e2(B)1(C)ln2(D)eB解析:f′(x)=2016+lnx+x×1x=2017+lnx,故由f′(x0)=2017,得2017+lnx0=2017,则lnx0=0,解得x0=1.故选B.解析:对原函数求导得f′(x)=x+2f′(2)-2x.令x=2,得f′(2)=2+2f′(2)-1,解得f′(2)=-1,故选B.2.已知函数f(x)=12x2+2f′(2)x-2lnx,则f′(2)等于()(A)1(B)-1(C)32(D)-32B3.y=ln(2x+5),则y′=.解析:设y=lnu,u=2x+5,则y′x=y′u·u′x,因此y′=125x·(2x+5)′=225x.答案:225x4.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+lnx,f′(1)=.解析:f′(x)=2f′(1)+1x,令x=1,得f′(1)=2f′(1)+1,所以f′(1)=-1.答案:-1考点二导数的几何意义【例2】(1)已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则ab为()(A)23(B)-23(C)13(D)-13解析:(1)y′=3x2,因为点P(1,1)为曲线y=x3上一点,所以曲线y=x3在点P(1,1)处的切线斜率k=y′|x=1=3,由条件知,3×ab=-1,所以ab=-13,故选D.答案:(1)D(2)已知f(x)=lnx,g(x)=12x2+mx+72(m0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,与f(x)的图象的切点为(1,f(1)),则m=.解析:(2)因为f′(x)=1x,所以直线l的斜率k=f′(1)=1.又f(1)=0,所以切线l的方程为y=x-1.g′(x)=x+m,设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),则有x0+m=1,y0=x0-1,y0=2012x+mx0+72,m0,于是解得m=-2.答案:(2)-2方法技巧导数的几何意义是在切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由1101101,yfxyyfxxx求解即可.(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.【题组训练】1.已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()(A)x+y-1=0(B)x-y-1=0(C)x+y+1=0(D)x-y+1=0B解析:因为点(0,-1)不在曲线f(x)=xlnx上,所以设切点为(x0,y0).又因为f′(x)=1+lnx,所以000000ln,11ln,yxxyxx解得x0=1,y0=0.所以切点为(1,0),所以f′(1)=1+ln1=1.所以直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.故选B.2.如图,点A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S,则函数S=f(x)的图象为()D解析:函数的定义域为[0,+∞),当x∈[0,2]时,在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越大,即斜率f′(x)在[0,2]内大于0且越来越大,因此,函数S=f(x)的图象是上升的且图象是下凸的;当x∈(2,3)时,在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越小,即斜率f′(x)在(2,3)内大于0且越来越小,因此,函数S=f(x)的图象是上升的且图象是上凸的;当x∈[3,+∞)时,在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0,即斜率f′(x)在[3,+∞)内为常数0,此时,函数图象为平行于x轴的射线.故选D.3.设点P是曲线y=x3-3x+23上的任意一点,则P点处切线倾斜角α的取值范围为()(A)[0,π2)∪[5π6,π)(B)[2π3,π)(C)[0,π2)∪[2π3,π)(D)(π2,5π6π]C解析:因为y′=3x2-3≥-3,故切线斜率k≥-3,所以切线倾斜角α的取值范围是[0,π2)∪[2π3,π),故选C.4.设曲线y=1cossinxx在点(π2,1)处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于()(A)-1(B)12(C)-2(D)2A解析:因为y′=21cossinxx,所以y′π2|x=-1.由条件知1a=-1,所以a=-1.故选A.解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1ax+2ax=221axax.①当a≥1时,f′(x)0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;考点三函数的单调性【例3】讨论函数f(x)=(a-1)lnx+ax2+1的单调性.②当a≤0时,f′(x)0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减;③当0a1时,令f′(x)=0,解得x=12aa,则当x∈(0,12aa)时,f′(x)0;当x∈(12aa,+∞)时,f′(x)0,故f(x)在(0,12aa)上单调递减,在(12aa,+∞)上单调递增.方法技巧(1)确定函数单调区间的步骤确定函数f(x)的定义域;求f′(x);解不等式f′(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;解不等式f′(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论;划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点;个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(f′(x)=0在x=0时取到),f(x)在R上是增函数.【题组训练】1.已知函数f(x)=xlnx,则f(x)()(A)在(0,+∞)上递增(B)在(0,+∞)上递减(C)在(0,1e)上递增(D)在(0,1e)上递减解析:因为函数f(x)=xlnx,定义域为(0,+∞),所以f′(x)=lnx+1(x0),当f′(x)0时,解得x1e,即函数的单调递增区间为(1e,+∞);当f′(x)0时,解得0x1e,即函数的单调递减区间为(0,1e