2019年高考数学二轮复习 专题二 三角函数与解三角形 第4讲 解三角形（二）课件 新人教A版

第4讲解三角形(二)核心整合1.解三角形的实际应用(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线__________叫仰角,目标视线在水平视线______叫俯角(如图①).上方下方正北(2)方向角相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等.(3)方位角指从____________方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).2.平面向量中的三角形问题在△ABC中,O为△ABC所在平面内一点(1)O为△ABC的重心⇔OA+OB+OC=0.(2)O为△ABC的垂心⇔OA·OB=OA·OC=OB·OC.(3)O为△ABC的外心⇔︱OA︱=︱OB︱=︱OC︱.【归纳拓展】(1)若O为△ABC所在平面内一定点,P是平面内一动点,满足OP=OA+λ(AB+AC),λ∈[0,+∞),则点P一定通过△ABC的重心.(2)若O为△ABC所在平面内一定点,P是平面内一动点,满足OP=OA+λ（ABAB+ACAC）,λ∈[0,+∞),则点P一定通过△ABC的内心.(3)若O为△ABC所在平面内一定点,P是平面内一动点,满足OP=OA+（cosABABBcosACACC）,λ∈[0,+∞),则点P一定通过△ABC的垂心.3.立体几何中的三角形问题在三棱锥P-PABC中,点P在平面ABC内的射影为O.(1)若P到三个顶点的距离相等,则O为△ABC的外心;若三条侧棱PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等,则O为△ABC的外心.(2)若O在△ABC内且P到三边的距离相等,则O为△ABC的内心;若O在△ABC内且三个侧面PAB,PAC,PBC与底面ABC所成的角相等,则O为△ABC的内心.(3)若三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,则O为△ABC的垂心.【归纳拓展】立体几何中的三角形问题,可通过射影等转化到平面三角形中进行解决.核心突破考点一实际问题中的解三角形【例1】(2017·江苏卷)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)解:(1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.如图①,记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=107,AM=40,所以MC=2240(107)=30,从而sin∠MAC=34.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=11sinPQMAC=16.即玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;解:(2)如图②,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=62142=24,从而GG1=221KGGK=222432=40.设∠EGG1=α,(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.∠ENG=β,则sinα=sin(π2+∠KGG1)=cos∠KGG1=45.因为π2απ,所以cosα=-35.在△ENG中,由正弦定理可得40sin=14sin,解得sinβ=725.因为0βπ2,所以cosβ=2425.于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=45×2425+(-35)×725=35.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=22sinPQNEG=20.即玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.方法技巧解三角形问题,多为边和角的求值问题,其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.第三步:求结果.【题组训练】1.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.解析:作出单位圆的内接正六边形,如图,则OA=OB=AB=1,S6=6S△OAB=6×12×1×32=332.答案:332解析:如图,CD表示山,AB表示塔,在Rt△CDB中,CD=200m,∠BCD=90°-60°=30°,所以BC=200cos30=40033(m).在△ABC中,∠ABC=∠BCD=30°,∠ACB=60°-30°=30°,所以∠BAC=120°.在△ABC中,由正弦定理得sin120BC=sin30AB,所以AB=sin30sin120BC=4003(m).2.在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高是m.答案:40033.如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距82nmile.此船的航速是nmile/h.解析:设航速为vnmile/h,在△ABS中,AB=12v,BS=82,∠BSA=45°,由正弦定理得82sin30=12sin45,所以v=32.答案:32考点二向量、立体几何中的三角形问题【例2】在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,向量m=（2cos2C,-sin(A+B)）,n=（cos2C,2sin(A+B)）,且m·n=0.(1)求角C;解:(1)由m·n=0得2cos22C-2sin2(A+B)=0,1+cosC-2(1-cos2C)=0,即2cos2C+cosC-1=0,解得cosC=-1或cosC=12,因为0Cπ,所以cosC=12,所以C=60°.(2)若a+b=3,a(cosA+cosB)=(b-a)cosA,求△ABC的面积.解:(2)因为a(cosA+cosB)=(b-a)cosA,由正弦定理可得,sin(B-A)=sin2A,所以B-A=(2k+1)π-2A或B-A=2kπ+2A,k∈Z,因为A+B=2π3,所以只有B-A=2A,所以A=π6,B=π2,所以b=2a,又因为a+b=3,所以a=1,b=2,因为斜边长为b,所以c=22ba=3,所以△ABC的面积为32.方法技巧本题主要考查了向量的数量积运算,正弦定理及三角形面积的求解问题.第一问利用向量的数量积定义及三角恒等变换等知识求出角C的大小,第二问是一个解三角形的问题,可由正弦定理以及三角形内角和为π等知识解决.【题组训练】1.(2017·湖州、衢州、丽水三市高三4月联考)已知O是△ABC的外心,∠ACB=π4,若OC=mOA+nOB(m,n∈R),则m+n的取值范围是()(A)[-2,2](B)[-2,1)(C)[-2,-1)(D)(1,2]B解析:如图,因为O是△ABC的外心,且∠ACB=π4,所以∠AOB=π2.设∠AOC=α,∠BOC=β,则α+β=2π-π2=3π2.因为OC=mOA+nOB,所以22,,OAOCmOAnOAOBOBOCmOAOBnOB设外接圆半径为R,则2222cos,cos,RmRRnR即cos,cos,mn所以m+n=cosα+cosβ=cosα+cos（3π2-α）=cosα-sinα=2cos（α+π4）,因为α∈（0,3π2）,所以α+π4∈（π4,7π4）,cos（α+π4）∈［-1,22）,2cos（α+π4）∈[-2,1),即m+n∈[-2,1).故选B.(A)18(B)3(C)15(D)92.△ABC中,∠C=90°,且CA=CB=3,点M满足BM=2AM,则CM·CA等于()A解析:以△ABC的顶点C为坐标原点,CB为x轴,CA为y轴建立直角坐标系,所以C(0,0),A(0,3),B(3,0),因为BM=2AM,所以M(-3,6),所以CM·CA=(-3,6)·(0,3)=18.故选A.3.已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相离,则三条边长分别为︱a︱,︱b︱,︱c︱的三角形是()(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)以上均有可能C解析:因为已知中直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相离,那么圆心为原点,则其到直线的距离为d=22cab1,所以c2a2+b2,那么根据余弦定理中三边的关系可知,角C为钝角,因此三条边长分别为︱a︱,︱b︱,︱c︱的三角形是钝角三角形,故选C.解析:如图,以A为原点,以AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C（-12,32）,因为O为△ABC的外心,所以O在AB的中垂线l1:x=1上,又在AC的中垂线l2上,AC的中点（-14,34）,AC的斜率为-3,所以中垂线l2的方程为y-34=33（x+14）,4.已知O是△ABC的外心,AB=2,AC=1,∠BAC=120°.设AB=a,AC=b,若AO=ma+nb,则m-n=.把直线l1和l2的方程联立解得△ABC的外心O（1,233）,由条件AO=ma+nb,得（1,233）=m(2,0)+n（-12,32）,所以121,2323,23mnn所以5,64,3mn所以m-n=56-43=-12.答案：-12.5.直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于.解析:如图底面三角形ABC的外心是O′,O′A=O′B=O′C=r,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,BC=222cosABACABACBAC=2222222cos120=23,由正弦定理得2r=sinBCBAC,可得△ABC外接圆半径r=232sin120=2,设外接球球心为O,在Rt△OBO′中,易得球半径R=5,故此球的表面积为4πR2=20π.答案:20π阅卷评析三角形面积公式应用【典例】(14分)(2016·浙江卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(1)证明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,……………………………2分故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B),………………………………………………………………………5分又因为A,B∈(0,π),故0A-Bπ,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此,A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.…………………………………………………………7分(2)若△ABC的面积S=24a,求角A的大小.(2)解:由S=24a得12absinC=24a,………………………………………………………8分故有sinΒsinC=12sin2Β=sinΒcosΒ,………………………………………10分因为sinB≠0,所以sinC=cosB,……………………………………………………11分又Β,C∈(0,π),所以C=π2±B,………………………………………………………12分当Β+C=π2时,A=π