2019年高考数学二轮复习 专题二 三角函数与解三角形 第2讲 函数y=Asin（ωx+φ）的图象与

第2讲函数y=Asin(ωx+)的图象与性质核心整合1.y=Asin(ωx+)的有关概念振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+)(A0,ω0)AT=2πf=1T=2π_______x【温馨提示】(1)以上结论都是针对A0,ω0而言的,若对于ω的正负没有给出的话则T=2π.(2)y=︱sinx︱与y=︱cosx︱的周期为π,而y=sin︱x︱不是周期函数,y=cos︱x︱是周期函数.2.用五点法画y=Asin(ωx+)一个周期内的简图用五点法画y=Asin(ωx+)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如表所示:x--+π2π－3π2-2π－ωx+______π2π3π22πy=Asin(ωx+)0A0-A00【归纳拓展】以上表格就是令ωx+=0,π2,π,3π2,2π这五个数,然后分别求出相应的自变量x和函数值y,得到了五个点,而这五个点分别是一个周期内最具有代表性的五个点,分别在平衡位置、最高点、平衡位置、最低点、平衡位置.3.函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+)(A0,ω0)的图象的步骤【归纳拓展】不管是图象的左右平移变换还是左右伸缩变换,都是针对自变量x而言的,例如要由y=Asinωx变换成y=Asin(ωx+),可以把y=Asin(ωx+)中的x前面的系数ω提出,即得y=Asinω（x+）,即x的地方变成了x+,所以平移方向看的正负号,平移量是.4.函数y=Asin(ωx+)(A0,ω0)的性质(1)周期性:T=2π.(2)奇偶性①=kπ,k∈Z时,函数y=Asin(ωx+)为奇函数;②=kπ+π2,k∈Z时,函数y=Asin(ωx+)为偶函数;③≠kπ且≠kπ+π2,k∈Z时,函数y=Asin(ωx+)为非奇非偶函数.(3)单调性①增区间:令ωx+∈［-π2+2kπ,π2+2kπ］,即x∈［-π2-+2πk,π2-+2πk］,k∈Z②减区间:令ωx+∈［π2+2kπ,3π2+2kπ］,即x∈［π2-+2πk,3π2-+2πk］,k∈Z.(4)对称性:①对称轴:x=π2-+πk,k∈Z.②对称中心:（-+πk,0）,k∈Z.【归纳拓展】对于函数y=Asin(ωx+)的图象和性质,我们可以借助函数y=sinx的图象和性质,把ωx+看成一个整体来进行考查.核心突破考点一函数y=Asin(ωx+)的图象及变换【例1】(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin（2x+2π3）,则下面结论正确的是()(A)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2(B)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2(C)把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2(D)把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2解析:因为sin（2x+2π3）=cos［π2-（2x+2π3）］=cos（2x+π6）.因此可以先将y=cosx即C1上所有点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,变为y=cos2x,再将y=cos2x向左平移π12个单位得到y=cos［2（x+π12）］=cos（2x+π6）.故选D.方法技巧对于三角函数图象变换问题,要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住sinα=cos（α-π2）,cosα=sin（α+π2）.【题组训练】D1.(2017·宁波高三十校联考)要得到函数y=cos（2x-π3）的图象,只需将函数y=sin（π2+2x）的图象()(A)向左平移π3个单位(B)向右平移π3个单位(C)向左平移π6个单位(D)向右平移π6个单位解析:(1)由于y=sin（π2+2x）=cos2x,y=cos（2x-π3）=cos［2（x-π6）］,所以函数y=sin（π2+2x）的图象向右平移π6个单位,得到y=cos（2x-π3）的图象.故选D.2.(2018·天津卷)将函数y=sin（2x+π5）的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数()(A)在区间［3π4,5π4］上单调递增(B)在区间［3π4,π］上单调递减(C)在区间［5π4,3π2］上单调递增(D)在区间［3π2,2π］上单调递减A解析:函数y=sin（2x+π5）的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y=sin［2（x-π10）+π5］=sin2x,则函数y=sin2x的一个单调增区间为［3π4,5π4］,一个单调减区间为［5π4,7π4］.由此可判断选项A正确.故选A.3.(2017·金华十校调研)将函数y=sin2x的图象向右平移（0π2）个单位长度后所得图象的解析式为y=sin（2x-π6）,则=,再将函数y=sin（2x-π6）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为.解析:依题意,sin（2x-π6）=sin［2（x-π12）］,故=π12,将y=sin（2x-π6）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y=sin（x-π6）的图象.答案:π12y=sin（x-π6）考点二与三角函数图象有关的问题【例2】(2017·湖州、衢州、丽水三市高三4月联考)函数f(x)=2sin(ωx+)（ω0,0π2）的部分图象如图所示,该图象与y轴交于点F(0,2),与x轴交于点B,C,点M为最高点,且△MBC的面积为π.(1)求函数f(x)的解析式;解:(1)因为S△MBC=12×2×BC=BC=π,所以周期T=2π=2π,ω=1.由f(0)=2sin=2,得sin=22,因为0π2,所以=π4,所以f(x)=2sin（x+π4）.(2)若f（α-π4）=255,求cos2α的值.解:(2)由f（α-π4）=2sinα=255,得sinα=55,所以cos2α=1-2sin2α=35.方法技巧由图象求函数f(x)=Asin(ωx+)的解析式,可由图象上的最高点与最低点来确定振幅A,由周期来确定ω,最后由特殊的点来确定.【题组训练】1.已知关于x的方程2sin2x-3sin2x+m-1=0在（π2,π）上有两个不同的实数根,则m的取值范围是.解析:方程2sin2x-3sin2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin（2x+π6）,x∈（π2,π）.设2x+π6=t,则t∈（76π,136π）,所以题目条件可转化为2m=sint,t∈（76π,136π）有两个不同的实数根.所以y=2m和y=sint,t∈（76π,136π）的图象有两个不同交点,如图.由图象观察知,2m的范围为（-1,-12）,故m的取值范围是(-2,-1).答案:(-2,-1)2.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+)（A0,ω0,︱︱π2）在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:ωx+0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx+)05-50ωx+0π2π3π22πxπ12π37π125π61312πAsin(ωx+)050-50(1)请将表格数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,=-π6.数据补全如表:函数解析式为f(x)=5sin（2x-π6）.解:(2)由(1)知f(x)=5sin（2x-π6）,得g(x)=5sin（2x+2θ-π6）.由于函数y=g(x)的图象关于点（5π12,0）成中心对称,所以2×5π12+2θ-π6=kπ,k∈Z,解得θ=π2k-π3,k∈Z.由θ0可知,当k=1时,θ取得最小值π6.(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为（5π12,0）,求θ的最小值.【例3】(2017·浙江卷)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sinxcosx(x∈R).(1)求f（2π3）的值;考点三三角函数的单调性、对称性、周期性解:(1)由sin2π3=32,cos2π3=-12,得f（2π3）=（32）2-（-12）2-23×32×（-12）=2.解:(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-3sin2x=-2sin（2x+π6）,所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间是［π6+kπ,2π3+kπ］(k∈Z).(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.方法技巧本题主要考查了三角函数的化简,以及函数y=Asin(ωx+)的性质,属于基础题,强调基础的重要性,是高考中的常考知识点;对于三角函数解答题中,当涉及周期、单调性、单调区间以及最值等性质时,首先应把它化为三角函数的基本形式即y=Asin(ωx+),然后利用三角函数y=Asinu的性质求解.1.(2017·金华十校高三4月模拟考试)设函数f(x)=2sin(ωx+)(ω0),则f(x)的奇偶性()(A)与ω有关,且与有关(B)与ω有关,但与无关(C)与ω无关,且与无关(D)与ω无关,但与有关解析:当=2k·π2(k∈Z)时,f(x)=sin(ωx+)=sin（ωx+2k·π2）=sinωx或-sinωx,所以f(x)是奇函数;当=(2k+1)·π2(k∈Z)时,f(x)=sin(ωx+)=sin（ωx+(2k+1)·π2）=cosωx或-cosωx,所以f(x)是偶函数.由此可知f(x)的奇偶性与ω无关,但与有关.故选D.D【题组训练】2.(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是()A(A)π4(B)π2(C)3π4(D)π解析:f(x)=cosx-sinx=-2（22·sinx-22·cosx）=-2sin（x-π4）,当x∈［-π4,34π］,即x-π4∈［-π2,π2］时,y=sin（x-π4）单调递增,y=-2sin（x-π4）单调递减.因为函数f(x)在[-a,a]是减函数,所以[-a,a]⊆［-π4,34π］,所以0a≤π4,所以a的最大值为π4.故选A.3.已知函数f(x)=cos（3x+π3）,其中x∈［π6,m］,若f(x)的值域是［-1,-32］,则m的取值范围是.解析:画出函数的图象如图.由x∈［π6,m］,可知5π6≤3x+π3≤3m+π3,因为f（π6）=cos5π6=-32且f（2π9）=cosπ=-1,f（518π）=cos76π=-32,所以要使f(x)的值域是［-1,-32］,只要2π9≤m≤5π18,即m∈［2π9,5π18］.答案:［2π9,5π18］阅卷评析【典例】(12分)(2017·山东卷)设函数f(x)=sin（ωx-π6）+sin（ωx-π2）,其中0ω3.已知f（π6）=0.三角函数的图象变换解:(1)因为f(x)=sin（ωx-π6）+sin（ωx-π2）,所以f(x)=32sinωx-12cosωx-cosωx=32sinωx-32cosωx……………………………………………………2分=3（12sinωx-32cosωx）=3（sinωx-π3）,…………………………4分由题设知f（π6）=0,所以π6-π3=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0ω3,所以ω=2.…………………………………………………………………6分(1)求ω;解:(2)由(1)得f(x)=3sin（2x-π3）,所以g(x)=3sin（x+π4-π3