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19.3正方形1.正方形的性质正方形具有平行四边形的所有性质,另外,还具有以下性质:(1)四条边都.(2)四个角都是.(3)对角线.2.正方形的判定(1)有一个角是直角的是正方形.(2)有一组邻边相等的是正方形.相等直角相等且互相垂直平分菱形矩形探究点一:正方形的性质【例1】如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由.【导学探究】1.连结CG,根据正方形的对称性,得CG=.2.证明四边形EGFC是,根据勾股定理可得到AG,GE,GF的数量关系.AG矩形解:结论:AG2=GE2+GF2.理由:如图,连结CG.因为四边形ABCD是正方形,所以A,C关于对角线BD对称,因为点G在BD上,所以AG=CG,因为GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,所以∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,所以四边形EGFC是矩形,所以CF=GE,在Rt△GFC中,由勾股定理,得CG2=GF2+CF2,所以AG2=GE2+GF2.探究点二:正方形的判定【例2】如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:四边形CFDE是正方形.【导学探究】要证四边形CFDE是正方形,应先证四边形CFDE是,然后再证.相等.矩形证明:因为∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°,所以四边形CFDE是矩形.又因为CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,所以DE=DF(角平分线性质),所以四边形CFDE是正方形.一组邻边正方形的判定方法(1)一组邻边相等的矩形是正方形.(2)有一个内角是直角的菱形是正方形.(3)对角线相等的菱形是正方形.1.对角线互相垂直平分的四边形是()(A)平行四边形、菱形(B)矩形、菱形(C)矩形、正方形(D)菱形、正方形2.(2018重庆A卷)下列命题正确的是()(A)平行四边形的对角线互相垂直平分(B)矩形的对角线互相垂直平分(C)菱形的对角线互相平分且相等(D)正方形的对角线互相垂直平分DD3.如图,将一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开.如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成()(A)90°(B)45°(C)30°(D)60°4.(2018新疆生产建设兵团)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为()(A)6cm(B)4cm(C)3cm(D)2cmBD5.如图,在正方形ABCD中,点F在CD上,点E在BC的延长线上,且CE=CF,BF的延长线交DE于G.(1)求证:BF=DE;(2)求证:BG⊥DE.证明:(1)因为四边形ABCD是正方形,所以BC=DC,∠BCF=∠DCE=90°.因为CF=CE,所以△BCF≌△DCE.所以BF=DE.(2)因为△BCF≌△DCE,所以∠FBC=∠EDC.因为∠FBC+∠BFC=90°,∠BFC=∠DFG,所以∠EDC+∠DFG=90°.所以∠FGD=90°.所以BG⊥DE.