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18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形第1课时矩形的性质1.矩形的定义有一个角是的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质矩形具有平行四边形的所有性质,另外还具有以下特殊性质:(1)矩形的四个角都是.直角直角(2)矩形的对角线.(3)矩形是轴对称图形,有条对称轴,对称轴是对边的垂直平分线.3.直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的.相等两一半探究点一:矩形的性质【例1】(2018张家界)在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.(1)求证:DF=AB;【导学探究】1.要证DF=AB,只要证△ADF≌即可.△EAB(1)证明:在矩形ABCD中,因为AD∥BC,所以∠DAF=∠AEB,∠B=90°.因为DF⊥AE,所以∠DFA=90°,所以∠DFA=∠B=90°.因为AD=EA,所以△ADF≌△EAB,所以DF=AB.(2)解:由(1)知DF=AB=4,因为∠ADF+∠FDC=90°,∠DAF+∠ADF=90°,所以∠FDC=∠DAF=30°.所以在Rt△AFD中,AD=2DF=2×4=8.(2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD.【导学探究】2.根据∠FDC=30°,∠ADC=90°,可得到∠DAF=,从而得到AD=DF.30°2在矩形中,证明线段相等,往往需要借助矩形的性质证明三角形全等.【例2】如图,在△ABC中,CF⊥AB,BE⊥AC,F,E是垂足,M,N分别是BC,EF的中点,试说明MN⊥EF.探究点二:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【导学探究】1.连接MF,ME,在Rt△BEC和Rt△BFC中,ME和MF是斜边上的中线,可得到MF=12,ME=12.BCBC三线合一2.在等腰△MEF中,MN是底边上的中线,根据等腰三角形的的性质证明.证明:如图,连接MF,ME,因为CF⊥AB,在Rt△BFC中,M是BC的中点,所以MF=12BC,同理ME=12BC,所以ME=MF,因为N是EF的中点,所以MN⊥EF.(1)直角三角形中,出现斜边的中点,要注意运用斜边上中线等于斜边一半的性质.(2)直角三角形中,30°的锐角所对直角边等于斜边的一半,中位线等于第三边的一半,要注意区分和综合运用.1.(2018连城期中)矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征()(A)对角相等(B)对角线相等(C)对角线互相平分(D)对边相等2.(2018桂平期中)在Rt△ABC中,斜边上的中线CD=2.5cm,则斜边AB的长是()(A)2.5cm(B)5cm(C)7.5cm(D)10cm3.(2018微山期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若EF=6cm,则AC的长是cm.BB244.如图,在Rt△ABC中,D为斜边AB的中点,连接CD,作DE⊥BC于E,∠CDE=60°,DE=1,则AB的长为.45.(2018天河模拟)如图,已知E,F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点,AE=CF,求证:BE=DF.证明:因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC,AD=BC.因为AE=CF,所以AD-AE=BC-CF,即ED=BF.又因为ED∥BF,所以四边形BFDE为平行四边形,所以BE=DF.