第四章-向量组的线性相关性

第四章向量组的线性相关性§1向量组及其线性组合定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组．当R(A)n时，齐次线性方程组Ax=0的全体解组成的向量组含有无穷多个向量．11121314342122232431323334aaaaAaaaaaaaa1234,,,123TTT结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数k1,k2,…,km，表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A的一个线性组合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．定义：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A的线性表示．例：设123100,,010001Eeee100203170001123237eee237b那么线性组合的系数e1,e2,e3的线性组合一般地，对于任意的n维向量b，必有1231000010000100001nbbbb123nbbbbbn阶单位矩阵En的列向量叫做n维单位坐标向量．1231000010000100001nbbbb123nbbbbb1000010000100001nE结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．1111211221222211221212,,,mmmmmmnnnmmxaaaxxaaaxxaxaxaaaaxaaax1122mmbaaalll11121121222212mmnnnmmaaaaaabaaalll()(,)RARAb向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b有解P.83定理1的结论：定义：设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示．若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价．口诀：左行右列定理：设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.结论：若C=AB，那么矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．（A在左边）矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．（B在右边）~cABA经过有限次初等列变换变成B存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使AP1P2…,Pl=B存在m阶可逆矩阵P，使得AP=B矩阵B的列向量组与矩阵A的列向量组等价~rAB矩阵B的行向量组与矩阵A的行向量组等价同理可得口诀：左行右列.把P看成是线性表示的系数矩阵向量组B：b1,b2,…,bl能由向量组A：a1,a2,…,am线性表示存在矩阵K，使得AK=B矩阵方程AX=B有解R(A)=R(A,B)（P.84定理2）R(B)≤R(A)（P.85定理3）推论：向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)．证明：向量组A和B等价向量组B能由向量组A线性表示向量组A能由向量组B线性表示从而有R(A)=R(B)=R(A,B)．因为R(B)≤R(A,B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)例：设证明向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示，并求出表示式．12311111210,,,21432301aaab解：向量b能由a1,a2,a3线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)．1111103212100121(,)~2143000023010000rAb因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3线性表示．1111103212100121(,)~2143000023010000rAb行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3．13233221xxxx3232212110cxccc小结()(,)RARAb向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b有解()(,)RARAB向量组B能由向量组A线性表示矩阵方程组AX=B有解()()RBRA()()(,)RARBRAB向量组A与向量组B等价知识结构图n维向量向量组向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的等价判定定理及必要条件判定定理§2向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的．向量组A：a1,a2,…,am线性相关m元齐次线性方程组Ax=0有非零解R(A)m备注：给定向量组A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一．向量组A：a1,a2,…,am线性相关，通常是指m≥2的情形.若向量组只包含一个向量：当a是零向量时，线性相关；当a不是零向量时，线性无关．向量组A：a1,a2,…,am(m≥2)线性相关，也就是向量组A中，至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．特别地，•a1,a2线性相关当且仅当a1,a2的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线．•a1,a2,a3线性相关的几何意义是三个向量共面．向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）．m元齐次线性方程组Ax=0有非零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m．向量组A中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）．m元齐次线性方程组Ax=0有非零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m．向量组A中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．m元齐次线性方程组Ax=0只有零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m．向量组A中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线性表示．例：试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性．例：已知试讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的线性相关性．解：可见R(a1,a2,a3)=2，故向量组a1,a2,a3线性相关；同时，R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关．1231021,2,4,157aaa102102124~022157000r例：已知向量组a1,a2,a3线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题．例：已知向量组a1,a2,a3线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解法1：转化为齐次线性方程组的问题．已知，记作B=AK．设Bx=0，则(AK)x=A(Kx)=0．因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以Kx=0．又|K|=20，那么Kx=0只有零解x=0，从而向量组b1,b2,b3线性无关．123123101(,,)(,,)110011bbbaaa例：已知向量组a1,a2,a3线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解法2：转化为矩阵的秩的问题．已知，记作B=AK．因为|K|=2≠0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量组a1,a2,a3线性无关，R(A)=3，从而R(B)=3，向量组b1,b2,b3线性无关．123123101(,,)(,,)110011bbbaaa定理（P.89定理5）若向量组A：a1,a2,…,am线性相关，则向量组B：a1,a2,…,am,am+1也线性相关．其逆否命题也成立，即若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关．m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时，一定线性相关．特别地，n+1个n维向量一定线性相关．设向量组A：a1,a2,…,am线性无关，而向量组B：a1,a2,…,am,b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的．§3向量组的秩向量组的秩的概念定义：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足①向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；②向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关；那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组．最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作RA．矩阵线性方程组有限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b有解当且仅当向量b能否由向量组A线性表示一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩．矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.90定理6）一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩．矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.90定理6）今后，向量组a1,a2,…,am的秩也记作R(a1,a2,…,am)．若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组，Dr所在的r行是A的行向量组的一个最大无关组．向量组的最大无关组一般是不唯一的．例：已知试讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的线性相关性．解：可见R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关，同时，R(a1,a2,a3)=2，故向量组a1,a2,a3线性相关，从而a1,a2是向量组a1,a2,a3的一个最大无关组．事实上，a1,a3和a2,a3也是最大无关组．1231021,2,4,157aaa102102124~022157000r最大无关组的等价定义结论：向量组A和它自己的最大无关组A0是等价的．定义：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足①向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；②向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关；②向量组A中任意一个向量都能由向量组A0线性表示；那么称向量组A0是向量组