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5.1.2垂线【基础梳理】1.垂直：(1)垂直及相关定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是_____时，就说这两条直线_________，其中一条直线叫做另一条直线的_____，它们的_____叫垂足.垂直是_____的一种特殊情形.直角互相垂直垂线交点相交(2)垂直的记法和读法：如图，直线AB，CD互相垂直，记作：AB⊥CD；读作：___________.AB垂直于CD2.垂线的性质：性质1：在同一平面内，过一点有且只有_____直线与已知直线垂直.性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_______最短.简单地说成：___________.一条垂线段垂线段最短3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的_______的长度.垂线段【自我诊断】1.判断对错：(1)两条直线相交，有一组邻补角相等，那么这两条直线垂直.()√(2)在平面内，经过直线上的一点，可以作无数条直线与已知直线垂直.()(3)点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线的长度.()2.到直线l的距离等于2cm的点有()A.0个B.1个C.无数个D.无法确定××C知识点一垂直的定义、性质及其应用【示范题1】(2017·巨野月考)如图所示，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE=64°，求∠AOF，∠DOG的度数.【自主解答】由CD⊥EF，得∠COE=∠COF=90°.由角的和差，得∠AOC=∠COE-∠AOE=90°-64°=26°，∠AOF=∠AOC+∠COF=26°+90°=116°；由对顶角相等，得∠BOF=∠AOE=64°，∠DOB=∠AOC=26°，由OG平分∠BOF，得∠BOG=∠BOF=32°，由角的和差，得∠DOG=∠DOB+∠BOG=26°+32°=58°.12【互动探究】图中互余的角有几对？【解析】有六对，分别是∠AOC与∠AOE，∠AOC与∠BOF，∠BOD与∠AOE，∠BOD与∠BOF，∠FOG与∠DOG，∠BOG与∠DOG.【微点拨】垂直定义的应用应用垂直的定义解题，要理解其定义的两个方面：(1)由两直线垂直可得其夹角为90°.(2)由两直线的夹角为90度，可得两直线互相垂直.知识点二垂线的画法、性质及其应用【示范题2】如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小.(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？并说明根据.【思路点拨】(1)根据两点之间线段最短，确定H的位置为线段AD与BC的交点.(2)根据垂线段最短，作图.【自主解答】(1)如图，连接AD，BC，交于点H，则H点为蓄水池的位置，它到四个村庄距离之和最小.(2)如图，过点H作HG⊥EF，垂足为点G，则沿HG开渠最短.根据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.【备选例题】如图，木匠师傅为检查门框AB是否垂直于水平面，在门框AB的上端A用细线悬挂一铅锤，看铅垂线AE是否与AB重合，若门框AB垂直于地面，则AE与AB重合；否则AE与AB不重合.你能说出木匠师傅这样测量的道理吗？【解析】因为铅垂线AE垂直于水平面，若门框AB也垂直于水平面，则A，B，E在一条直线上，即AE与AB重合，否则AE与AB不重合.木匠师傅这样做的根据是“在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”.【微点拨】过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线的“三步法”一靠：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上；二移：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已知点；三画：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的已知直线的垂线.如图.知识点三点到直线的距离【示范题3】如图，①过点Q作QD⊥AB，垂足为点D；②过点P作PE⊥AB，垂足为点E；③过点Q作QF⊥AC，垂足为点F；④连P，Q两点；⑤P，Q两点间的距离是线段______的长度；⑥点Q到直线AB的距离是线段______的长度；⑦点Q到直线AC的距离是线段______的长度；⑧点P到直线AB的距离是线段______的长度.【思路点拨】根据题意作出图形，然后根据两点间的距离及点到直线的距离的定义进行辨析.【自主解答】①②③④作图如图所示；⑤根据两点之间距离即可得出P，Q两点间的距离是线段PQ的长度；⑥根据点到直线的距离可得出点Q到直线AB的距离是线段QD的长度；⑦根据点到直线的距离可得出点Q到直线AC的距离是线段QF的长度；⑧根据点到直线的距离可得出点P到直线AB的距离是线段PE的长度.【微点拨】点到直线的距离(1)点到直线的距离是数量，不是图形.(2)点到直线的距离具有唯一性.(3)若点在直线上，它到该直线的距离是0.【纠错园】如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，则下列的结论中正确的个数为()①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离.A.2B.3C.4D.5【错因】混淆点到直线的距离、垂线段的定义.