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第二章相交线与平行线1两条直线的位置关系第1课时【基础梳理】1.相交线与平行线(1)同一平面内的两直线有两种位置关系:_____和_____.相交平行(2)定义:①相交线:在同一平面内,只有_____公共点的两条直线.②平行线:在同一平面内,_______的两条直线.一个不相交2.对顶角及性质(1)定义:有_________,且两边_______________的两个角.(2)性质:对顶角_____.公共顶点互为反向延长线相等(3)注意:①对顶角都是成对出现的.②对顶角的实质是两直线相交所成的没有公共边的两个角.③对顶角不仅反映了角的数量关系,还反映了角的位置关系.3.余角和补角(1)概念:①如果两个角的和是_____,那么称这两个角互为余角.②如果两个角的和是______,那么称这两个角互为补角.90°180°(2)性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.(3)注意:①互补与互余强调的是角之间的数量关系,与其位置无关.②一个角的补角比它的余角大90°.【自我诊断】1.如果两个角的和是90°,那么这两个角互为_________.如果两个角的和是__________,那么这两个角互为补角.余角180°2.42°的余角为_________,127°的补角为_________.3.若∠1=∠2,且∠1与∠2互余,则∠1=∠2=_________.48°53°45°4.若∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°,则∠A______∠C,理由是___________________.=同角的补角相等知识点一对顶角及性质【示范题1】如图,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOC=85°,OE把∠BOD分成两个角,且∠BOE∶∠EOD=2∶3.(1)写出图中所有的对顶角.(2)求∠DOE,∠EOB的度数.【思路点拨】(1)根据对顶角的定义求解.(2)根据对顶角的性质求出∠BOD的度数,设∠BOE=2x,根据题意列出方程,解方程即可.【自主解答】(1)图中所有的对顶角有∠AOC与∠DOB,∠AOD与∠BOC.(2)设∠BOE=2x,则∠DOE=3x,∠BOD=∠AOC=85°,所以2x+3x=85°,解得,x=17°,则2x=34°,3x=51°,所以∠BOE=34°,∠DOE=51°.【互动探究】对顶角相等,相等的角一定是对顶角吗?提示:不一定.相等的角只满足了数量关系,不能保证位置关系.【备选例题】如图:直线AB,CD相交于点O,∠BOE=∠DOE,已知∠AOC=70°,求∠BOE.【规范答题】因为∠BOE=∠DOE,所以∠BOD=2∠BOE.又因为∠BOD=∠AOC,∠AOC=70°,所以2∠BOE=70°,所以∠BOE=35°.【微点拨】对顶角的三大特征1.数量关系:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.2.位置关系:有公共顶点,两边互为反向延长线,也可看作两边形成两条相交的直线.3.成对出现:对顶角是两个角的关系,其成对出现.知识点二余角及补角的计算【示范题2】一个角的余角比这个角的补角的还小10°,求这个角的度数.13【思路点拨】准确表示一个角的余角和这个角的补角,根据题意列出方程,解方程即可.【自主解答】设这个角的度数为x,则这个角的余角为90°-x,这个角的补角为180°-x,由题意得90°-x=(180°-x)-10°,解得x=60°.13【互动探究】一个角的余角大还是它的补角大?大多少?提示:一个角的补角大于它的余角,大90°.设这个角的度数为x.(180°-x)-(90°-x)=180°-x-90°+x=90°.【备选例题】一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°,那么这个角是多少度?【规范答题】设这个角的度数为x,则这个角的余角为90°-x,这个角的补角为180°-x,由题意得(180°-x)-3(90°-x)=24°,解得x=57°.【微点拨】余角和补角的计算方法1.直接计算:(1)∠α与∠β互余,则∠α=90°-∠β或∠β=90°-∠α.(2)∠α与∠β互补,则∠α=180°-∠β或∠β=180°-∠α.2.方程思想:当问题中出现余角、补角之间的和差倍分关系时,可根据其中的相等关系,设未知数列方程求解.【纠错园】如图,∠EOC=∠AOC=∠BOD=90°,有没有与∠BOC互补的角?【错因】直观看图,没有将∠BOC转化.