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1两条直线的位置关系第二章相交线与平行线1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.2.在具体情境中了解相交线、平行、补角、余角、对顶角、垂直的定义，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，理解垂直的性质，并能解决一些实际问题.3.会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，进一步丰富操作活动的经验.看一看，它们有什么共同之处？扶手双杠铁轨•在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.不相交的直线就是平行线吗？在同一平面内,两条直线的位置关系是平行或相交.不一定，必须在同一平面内.【定义】【议一议】找一找，图中有哪些平行线？1.自动扶梯的左、右扶手如果不平行会出现什么情况？2.铁路的铁轨如果不平行，又会出现什么情况？【想一想】生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁.在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线.在这一章里，我们将发现相交线和平行线的一些特征，并探索两条直线平行的条件.我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案！用剪子剪东西时，哪对角同时变大或变小？你能说明理由吗？12ADCBO在图中，还有相等的角吗？这几组相等的角在位置上有什么样的关系？你能试着描述一下吗？像∠1与∠2，∠AOC与∠BOD一样，两个角有公共的顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.对顶角相等定义：性质：因为∠1+∠AOC=180°∠2+∠AOC=180°所以∠1=∠2(同角的补角相等）1.你能举出生活中包含对顶角的例子吗？2.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由.BOAOC12C'BAC12C'AOC12C'O(1)(2)(3)BA1324BDCO(4)【做一做】答案：图（4）中∠1与∠3，∠2与∠4分别为对顶角，图（1）（3）中两角无公共顶点，（2）中虽有公共顶点，但各角两边不互为反向延长线，故都不是对顶角。如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？方法一：可利用对顶角相等得出.方法二：可利用补角得出.【议一议】你玩过“抓老鼠”的游戏吗？游戏是：一个小伙伴将照射到室内的光线（图中DO）用平面镜反射到墙上，另一个小伙伴去抓射到墙上的影子（图中E处），平面镜移动，影子也随之移动，这里的∠1=∠2，它们是对顶角吗？∠1和∠BOC呢？你能说出图中与∠1相等和互补的角吗？C墙镜子太阳光反射光线ADOBE12答案：不是是∠2，∠BOC∠AOC,∠DOB【跟踪训练】下面两种相交的情况有什么不同？两直线不垂直两直线垂直【议一议】反射角=入射角入射角反射角入射光线反射光线法线【合作探究】142C3ADBEF如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.∠3=∠4入射角反射角∠3+∠1=90°∠3+∠2=90°∠3+∠ABF=180°∠3+∠CBE=180°我们将上述光的反射图形抽象为几何图形.图中都有哪些角？你能说出图中的各个角之间都有怎样的关系吗？ADCEB∠1∠2∠3∠41.在本图中，有哪些角互为余角？互为补角？互余的角有：∠1与∠3，∠2与∠3，∠1与∠4，∠2与∠4.互补的角有：∠3与∠ABF，∠4与∠CBE，∠3与∠CBE，∠4与∠ABF.3412CABDEF【议一议】2.除了∠1=∠2外图中都有哪些相等的角？为什么？由此你能得到什么结论？同角的余角相等等角的余角相等同角的补角相等等角的补角相等①∠3=∠4因为∠1=∠2∠1+∠3=90°∠2+∠4=90°所以∠3=∠4②∠ABF=∠CBE因为∠3=∠4∠ABF+∠3=180°,∠CBE+∠4=180°所以∠ABF=∠CBE3412CABDEF（1）30°,70°与80°的和为平角,所以这三个角互补.（）（2）一个角的余角必为锐角.（）（3）一个角的补角必为钝角.（）（4）90°的角为余角.（）（5）两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关.（）×√×××注意：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关.判断下列说法是否正确【做一做】4.怎样用符号表示两条直线的垂直关系？1.什么叫做两条直线互相垂直？2.你能用三角尺、直尺、量角器画出互相垂直的直线吗？5.过一点能画多少条已知直线的垂线？6.你是如何理解点到直线的距离的？3.用折纸法折出垂线.【自学提纲】定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.olm【新知探究】（1）你能用三角尺在白纸上画出两条互相垂直的直线吗？（3）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？（2）你能用量角器在白纸上画出两条互相垂直的直线吗？【做一做】012345012345012345678910用三角尺作两条互相垂直的直线试讨论一下，有几种画法？AB怎样再取两点C,D才能使CD⊥AB？若取定A，B两点,有什么规律？——横4竖3，横3竖4.CD在方格纸上画两垂直的直线【画一画】根据图示能折出互相垂直的线，您不妨试试看！【折一折】ODCBAmn图中，直线AB与直线CD垂直记作：AB⊥CD；直线m与直线n垂直记作：m⊥n；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.注意“⊥”是“垂直”的记号，而“”是图形中“垂直”(直角)的标记.垂直的表示结论：在图中过点A作m的垂线，你能作多少条？Amm在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直..·A··【想一想】看图回答：你能用一句话表示这个结论吗？PABCmD垂线段PB的长度叫做点P到直线m的距离.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.线段PA,PB,PC,PD谁最短？点到直线的距离结论：【例】作一条直线l，在直线l上取一点A，lAB012345678910012345012345012345678910012345012345在l外取一点B，试分别过点A，B用三角尺作直线的垂线.【例题】找出下图中互相垂直的直线.（1）（2）ABCDABCDO【跟踪训练】1.（宁波·中考）如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是（）A.125°B.135°C.145°D.155°【解析】选B.∠AOC=∠BOD=45°，∠COE=∠AOC+∠AOE=135°.2.（郴州·中考）如图，直线l1与l2相交于点O，，若，则∠β等于（）A.56°B.46°C.45°D.44°【解析】选B.因为∠β的对顶角与∠α互余，所以∠β=90°-∠α=90°-44°=46°.1OMl44M3.（西安·中考）如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA=36°，则∠DOB的大小为（）A．36°B．54°C．64°D．72°【解析】选B.因为OC⊥OD，所以∠COD=90°，又因为∠AOB=180°，所以∠DOB=∠AOB－∠COD－∠COA=180°－90°－36°=54°.4.点P是直线l外一点，点A，B，C是直线l上三点，且PA=10，PB=8，PC=6，那么点P到直线l的距离为（）.A.6B.8C.大于6的数D.不大于6的数【解析】选D.根据“垂线段最短”，垂线段的长度一定小于或等于6，即为不大于6的数.5.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是.6.在同一平面内,两条相交直线公共点的个数是______;两条平行直线的公共点的个数是_____;两条直线重合,公共点有_________个.相交或平行1个0个无数7.（长沙·中考）如图，O为直线AB上一点，∠BOC=26°30′则∠1＝．【解析】由图得∠1与∠BOC互为补角，所以∠1=180°-∠BOC=180°-26°30′=153°30′.答案：153°30′1OCBA8．（娄底·中考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOD=100°，则∠AOE=_____.【解析】因为∠AOD+∠BOD=180°，所以∠AOD=180°-100°=80°.因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠AOD=40°答案：40°12一、余角、补角、对顶角的概念：二、余角、补角、对顶角的性质：1.和为90°的两个角称互为余角；2.和为180°的两个角称互为补角；3.有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角称为对顶角1.同角或等角的余角相等；2.同角或等角的补角相等；3.对顶角相等.1.垂直定义；2.垂直的画法；3.垂直的记法；4.垂直的一个结论；5.点到直线的距离.三、垂直的相关知识：失败往往是黎明前的黑暗，继之而出现的就是成功的朝霞.——霍奇斯