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﹡3垂径定理【基础梳理】文字叙述几何语言垂径定理垂直于弦的直径_____这条弦,并且_____弦所对的弧∵CD⊥AB,∴AE__BE,平分平分=ADBD文字叙述几何语言垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径_____于弦,并且_____弦所对的弧∵CD是圆O的直径,AE=BE,∴CD___AB,垂直平分⊥ADBD【自我诊断】1.判断对错:(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.()(2)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.()(3)相互平分的两条弦,一定相互垂直.()(4)弦的垂直平分弦一定平分这条弦所对的弧.()×××√2.如图,AB为半圆直径,O为圆心,C为半圆上一点,E是弧AC的中点,OE交弦AC于点D.若AC=8cm,DE=2cm,则OD的长为__cm.3知识点一垂径定理【示范题1】已知:如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,垂足为点E,CD=8,BE=2,求直径AB的长.【微点拨】垂径定理常作的两条辅助线及解题思想1.两条辅助线:一是过圆心作弦的垂线,二是连接圆心和弦的一端(即半径),这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中,运用勾股定理求解.2.方程的思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时,常常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题.这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路.知识点二垂径定理的应用【示范题2】(2017·乐山中考改编)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25米,BD=1.5米,且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是()A.2米B.2.5米C.2.4米D.2.1米【思路点拨】连接OA,AC,作OF⊥BD于点F;交AC于点E,设圆O的半径为R米,根据勾股定理列出方程,解方程即可.【自主解答】选B.连接OA,AC,作OF⊥BD于点F,交AC于点E,∵BD是⊙O的切线,∴OF⊥BD,∵四边形ABDC是矩形,∴AC∥BD,∴OE⊥AC,EF=AB,设圆O的半径为R,在Rt△AOE中,AE==0.75米,OE=R-AB=(R-0.25)米,∵AE2+OE2=OA2,∴0.752+(R-0.25)2=R2,解得R=1.25.故直径为1.25×2=2.5(米).ACBD22【微点拨】垂径定理基本图形的四变量、两关系1.四变量:如图,弦长a,圆心到弦的距离d,半径r,弧的中点到弦的距离(弓形高)h,这四个变量知任意两个可求其他两个.2.两关系:(1)(2)h+d=r.222a()dr.2【纠错园】有一个半径为5m的排水管,水面宽度为8m,求此时水的深度.【错因】________________________________________________________________水面的位置有高于圆心和低于圆心两种情况,在解答中忽略了其中一种!