2019版九年级数学下册 第三章 圆 3 垂径定理教学课件 （新版）北师大版

*3垂径定理1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.点在圆外,这个点到圆心的距离大于半径点在圆上,点在圆内,这个点到圆心的距离等于半径这个点到圆心的距离小于半径ABCO点与圆的位置关系2.它的对称轴是什么?是圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线3.你能找到多少条对称轴？它有无数条对称轴.●O1.圆是轴对称图形吗？1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧２.连接圆上任意两点的线段叫做弦.如：弦AB３.经过圆心的弦叫做直径.直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧.弧、弦、直径注意：ABODC圆的相关概念如：优弧ADB记作ADB如：弧AB记作AB③AM=BM,AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.●O小明发现图中有:ABCDM└①CD是直径②CD⊥AB可推得ACBC,④ADBD.⑤【问题】连接OA,OB,则OA=OB.●OABCD└在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,理由：ACBC,ADBD.和重合和重合ACBC,ADBD.MODCBAM垂直于平分这条弦，并且平分弦所对的弧.弦的直径在⊙O中，直径CD⊥弦AB，∴AM=BM=AB，21ACBC，ADBD.定理：ODCBAM┗在⊙O中，直径CD平分弦AB∴CD⊥AB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.ACBCADBD定理：ODCBAM弦（不是直径）并且平分弦所对的弧平分的直径垂直于弦，ODCBA结论：1.在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB=8，OA=5，则AC=，OC=.ABCOABCO┏58432.在⊙O中，OC平分弦AB，AB=16，OA=10，则∠OCA=°，OC=.1610906【巩固练习】ODCBAM例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20，CM=4，求AB.└【例题】ODCBAM解：连接OA，在⊙O中，直径CD⊥AB，∴AB=2AM，△OMA是直角三角形.∵CD=20，∴AO=CO=10.∴OM=OC–CM=10–4=6.在Rt△OMA中，AO=10，OM=6，根据勾股定理，得：222AOOMAM，∴2222AMAOOM1068，∴AB=2AM=2×8=16.└例2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？G└解:作OG⊥AB，∵AG=BG,CG=DG，∴AC=BD.CEFDO例3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中,点O是所在圆的圆心),其中CD=600m,E是上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.解:连接OC..)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程545m.这段弯路的半径为CDCDCD1.判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（）对错错对【跟踪训练】●O●M2.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.解：连接OM,过M作AB⊥OM，交⊙O于A，B两点.AB1.（上海·中考）如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________.【解析】由垂径定理得AN=CN，AM=BM，所以BC=2MN=6.答案：62.（芜湖·中考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A．19B．16C．18D．20答案:D3．（烟台·中考）如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤正确结论的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个答案:B1AEAB24.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝OEB．CE＝DEC．OE＝CED．∠AOC＝60°12．答案:B5.（襄阳·中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（）A．5cmB．2．5cmC．2cmD．1cm答案:D6.（襄阳·中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（）A．17cmB．7cmC．12cmD．17cm或7cmMOBOBADCADCNNM图(1)图(2)答案：D【规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题.最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧.2.垂径定理及推论、圆的对称性.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.通过本课时的学习，需要我们掌握：善良和谦虚是永远不应令人厌恶的两种品德。——斯蒂文生