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4二次函数的应用第1课时【基础梳理】利用二次函数求几何图形的最大面积的基本方法(1)引入自变量.(2)用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量.(3)根据几何图形的特征,列出其面积的计算公式,并且用函数表示这个面积.(4)根据函数关系式,求出最大值及取得最大值时自变量的值.【自我诊断】1.判断对错:(1)周长一定的矩形,当其为正方形时面积最大.()(2)用二次函数只能解决最大面积问题,而不能解决最小面积问题.()√×2.在一大片空地上有一堵墙(线段AB),现有铁栏杆40m,准备充分利用这堵墙建造一个封闭的矩形花圃,如果墙AB=8m,那么设计的花圃面积最大为()A.100m2B.128m2C.144m2D.200m2B3.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分.则水喷出的最大高度是__米.4知识点最大面积问题【示范题】课本中有一个例题:有一个窗户形状如图1,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大?这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积最大值约为1.05m2.如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图2,材料总长仍为6m,利用图3,解答下列问题:(1)若AB为1m,求此时窗户的透光面积.(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明.【思路点拨】(1)根据矩形和正方形的周长进行解答.(2)设AB为xm,利用二次函数的最值解答.【自主解答】(1)由已知可得:AD=则S=1×(2)设AB=xm,则AD=设窗户面积为S,由已知得:1611152.24＝255m.44＝7(3x)m4，7123x00x47＞，＜＜，当x=时,且x=m在0x的范围内,S最大值=m21.05m2,∴与课本中的例题比较,现在窗户透光面积的最大值变大.227SABADx(3x)47769x3x(x)4477＝＝＝＝，676712797【微点拨】应用二次函数解决面积最大问题的步骤1.分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质.2.找出等量关系,建立函数模型.3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,常采用配方法求出,或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的最大或最小值.【备选例题】在美化城市的建设中,某街道想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设BC=xm.(1)若花园的面积为195m2,求x的值.(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是6m和8m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S(m2)的最大值.【解析】(1)根据题意,BC=xm,则AB=(28-x)m,故x(28-x)=195,解得:x=13或x=15.(2)∵P与墙CD,AD的距离分别是6m和8m,∴x≥6且28-x≥8,解得:6≤x≤20,由题意可得:S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196,∴当x=14时,S取得最大值,最大值为196.答:花园面积S的最大值为196m2.【纠错园】正方形ABCD边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点,当点M在BC上运动时,保持AM和MN垂直,当点M在什么位置时,△ADN的面积最大或最小,并求出最大或最小面积.【错因】____________________________忽略了自变量x的取值范围.