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第2课时4角平分线1．会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.2．进一步提高推理、证明意识和能力．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).AOCB12PDE在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),且PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)AOCB12PDE作三角形的三个内角的平分线，你发现了什么？发现：三角形的三个内角的平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．三角形三个角的平分线相交于一点.怎样证明这个结论呢?点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可．【验证】【结论】命题:三角形三个角的平分线相交于一点.已知：如图，设△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．【证明】过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D，F，E是垂足；∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上，∴PD=PE．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上．∴△ABC的三条角平分线相交于点P．PDEFABCMN定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).PDEFABCMN【结论】H如图所示，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N.求证：BM＝CN.【做一做】【证明】连接BD,CD.∵DE为BC的垂直平分线，∴DB＝DC.∵AD为∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN,∠BMD＝∠CND＝90°,在Rt△BDM和Rt△CDN中，∵DB＝DC，DM＝DN，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴BM＝CN.1.（益阳·中考）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（）A.P为∠A，∠B两角平分线的交点B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC，AB两边上的高的交点D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点ABCP【解析】选B.∵点P到∠A的两边的距离相等，∴P在∠A的角平分线上，∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上.∴P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点.2.(巴中•中考)如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三边的中垂线的交点C.△ABC三条角平分线的交点D.△ABC三条高所在直线的交点CBCA3.（曲靖·中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10,AD平分∠BAC交BC于点D，且BD:CD＝3:2，则点D到线段AB的距离为.【解析】∵BD︰CD＝3︰2,BC＝10,∴CD＝4,又∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，则点D到线段AB的距离等于CD,为4.答案：4三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．从来没有人读书，只有人在书中读自己，发现自己或检查自己。——罗曼·罗兰