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第1课时3线段的垂直平分线1.能够运用公理和所学的定理证明线段垂直平分线的性质和判定定理.2.能用尺规作已知线段的垂直平分线.垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线.等腰三角形顶角平分线有哪些性质？垂直于底边，并且平分底边．AD所在的直线即线段BC的垂直平分线．ABC如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?码头应建在线段AB的垂直平分线上一点.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ACBPMN证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．PAB∟PABPAPB.在线段的垂直平分线上，温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.【结论】如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？【想一想】提示：PA=PB,AC=BC你能写出下面这个定理的逆命题吗？如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．方法一：过点P作已知线段AB的垂线PC,∴∠PCA=∠PCB=90°，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC=BC，PC⊥AB，即P点在AB的垂直平分线上．BPAC性质定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．方法二：取AB的中点C，过点P,C作直线PC，∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．BPAC方法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB，又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=90°，∴P点在线段AB的垂直平分线上．BPACACBPMN∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).温馨提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.【结论】【例】做一做：用尺规作线段的垂直平分线.作法：1.分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧交于点C和点D．ABCD2.作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流．已知:线段AB,如图.求作:线段AB的垂直平分线．【例题】121.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=cm；如果∠ECD=60°,那么∠EDC＝.老师期望:你能说出填空结果的根据.EDABC760°2.已知直线和直线上一点P,利用尺规作直线的垂线,使它经过点P.ABClP已知：直线l和l上一点P．求作：PC⊥l．作法：1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l相交于点A和点B．2.作线段AB的垂直平分线PC．直线PC就是所求的垂线．3．如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD．ABCDPP点即为所求作的点．4.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点．求证：PB=PC．PBDCA【证明】连接BC，∵AB=AC，BD=CD，∴点A，D在线段BC的垂直平分线上；∴直线AD垂直平分线段BC，∴PB=PC．1.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．2.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．3.用尺规作线段的垂直平分线．智慧的可靠标志就是能够在平凡中发现奇迹。——爱默生