2019版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1 等腰三角形（第3课时）教学课件 （新版）北师大版

第3课时1等腰三角形1.掌握等边三角形的判定定理.2.掌握含30°角的直角三角形的性质．1.等腰三角形的性质:2.推论：3.判定定理：4.结论：等腰三角形中相等的线段等腰三角形知识回顾等边对等角三线合一等角对等边等腰三角形两底角的平分线、两腰上的高线、两腰上的中线分别相等．一个三角形满足什么条件时便成了等边三角形？三个角都相等的三角形是等边三角形．你能证明吗？把你的证明思路与同伴进行交流，注意证明步骤哦！【猜想】证明：三个角都相等的三角形是等边三角形．已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B，∴BC=AC(等角对等边)．又∵∠A=∠C，∴BC=AB(等角对等边)．∴AB=BC=CA，即△ABC是等边三角形．CBA【验证】一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？怎样证明呢？有几种情况？与小组内同学讨论交流．点拨：有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.【猜想】证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，∴∠A=60°(三角形内角和定理)．∴∠A=∠B=∠C=60°．∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．求证:△ABC是等边三角形．第一种情况：有一个底角是60°.ACB60°【验证】证明:∵AB=AC，∠A=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(等边对等角和三角形内角和定理)．∴∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)．第二种情况：顶角是60°.已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠A=60°．求证:△ABC是等边三角形．ACB60°等腰三角形(含等边三角形)性质判定的条件等边对等角等角对等边“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合有一角是60°的等腰三角形是等边三角形等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形【结论】操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？30°30°结论:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.你能说出所拼成的三角形的形状吗？猜想：在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？30°30°30°定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.求证:BC=AB.21A30°BC分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题转化“线段相等”问题30°30°∵∠ACB=90°,(已知)∴∠ACD=90°，(平角意义)在△ABC与△ADC中，BC=DC，（作图）∠ACB=∠ACD，（已证）AC=AC，（公共边）∴△ABC≌△ADC（SAS），∴AD=AB；∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知)∴∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)∴BC=BD=AB．(等式性质)30°ABCD证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD，2121BC:AC:AB=132：：定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．几何语言：在△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°．∴BC=AB．(在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)12ABC30°推论：【例】已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为2a．求:腰上的高．CBAD【例题】如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高，求CD的长.【解析】∵∠B=∠ACB=15°，(已知)∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，∴CD=AC=a．（在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）21已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．求证:BD=DACB30°【证明】∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°∴BC=∠B=60°．∴∠BCD=30°，∴BD=∴BD=【跟踪训练】AB4．AB2，CB2，AB.41.（枣庄·中考）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A.mB.4mC.mD.8m83343ABD150°hC【解析】选B.过点C作AB的垂线CE，交AB延长线于E点.在Rt△BEC中,∠CBE=180°-∠ABC=30°，根据直角三角形性质得：11CECB8=4(m).22ABCD150°hE【证明】延长BC至D，使CD=BC，连接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=BD．又∵BC=AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等边三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．2．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=AB．求证：∠BAC=30°．CBAD1212123.(湘西·中考)在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．(1)求AC的长.(2)求BC的长．【解析】(1)直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半，∴AC＝2AB＝6.(2)由勾股定理得：ABC330°22BCACAB3692733.4.（玉溪·中考）在玉溪州大河旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图，若AB＝4,AC＝10,∠ABC＝60°.求:B，C两点间的距离.BAC【解析】过A点作AD⊥BC于点D，在Rt△ADB中，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°.∵AB=4,∴BD=2,∴AD=在Rt△ADC中，AC=10，∴CD===2.∴答：B，C两点间的距离为22ACAD12100222222AB-BD=4-2=23.BCBDDC2222.2222.BACD1.等边三角形的判定:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．三个角都相等的三角形是等边三角形．2.特殊的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3.数学方法：分类的思想．失败往往是黎明前的黑暗，继之而出现的就是成功的朝霞。——霍奇斯