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第十七章勾股定理17.1勾股定理第1课时星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:凌峰山主峰高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条缆车路线,已知山底端C处与地面B处相距1200米,∠ACB=90°,请问缆车路线AB长应为多少？读一读我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由汉代的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的.图1-2是2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.图1-1图1-2相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系．我们也来观察右图中的地面图案，看看能发现些什么？1.掌握勾股定理的内容.2.了解勾股定理的证明.3.能应用勾股定理进行简单计算.ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图1图29918448ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2SC正方形1433182分“割”成若干个直角边为整数的三角形ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2SC正方形216218把C“补”成边长为6的正方形面积的一半ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2SA+SB=SCA的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图19918图2A，B，C面积关系直角三角形三边关系448两直角边的平方和等于斜边的平方ABC图1ABC图2观察右边两个图并填写下表：A的面积B的面积C的面积图1图2169254913你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流一下．【做一做】ABC图1ABC图2三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．【议一议】ABCacbSA+SB=SC设直角三角形的三边长分别是a，b，c,猜想:两直角边a，b与斜边c之间的关系？a2+b2=c2命题1如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.【归纳】赵爽弦图∵ab×4+(b-a)²=c²∴a²+b²=c²abc2ab+（b²-2ab+a²）=c²12勾股定理的证明如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.勾股定理∵∠C＝90°∴a2+b2=c2cabBCA【归纳】为什么叫勾股定理这个名称呢？原来在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为“勾”，较长直角边称为“股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理。勾股国外又叫毕达哥拉斯定理【读一读】勾股世界两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票.我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.【读一读】【例】求出下列直角三角形中未知边的长度.【解析】（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2X2=36+64x2=100x2=62+82∵x0y2+52=132y2=132-52y2=144∴y=12（2）在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2∵y0A68xCBy13C5AB∴X=10【例题】在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.(1)已知a=1，b=2，求c.(2)已知a=10，c=15，求b.ACBbac【跟踪训练】答案：（1）.（2）.555通过本课时的学习，需要我们1.掌握勾股定理的内容：直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.2.理解勾股定理的证明过程.3.应用勾股定理计算线段的长度.注意使用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.1.在等腰Rt△ABC中,a=b=1,则c=＿＿＿.abcCBA22.在一个直角三角形中,两边长分别为3,4,则第三边的长为________.5或73.（宜宾·中考）已知，在△ABC中，∠A=45°，AB=+1，则边BC的长为____.【解析】过点C作CD⊥AB,∵∠A=45°,∴AD=CD,∴2AD2=AC2=2,∴DC=AD=1,∴BD=AB-AD=+1-1=在Rt△CDB中，答案：2AC=2,333.22CB=CD+BD=1+3=4=2.4.(广东·中考）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；……以此下去，则正方形A4B4C4D4的面积为__________.图（1）A1B1C1D1ABCDD2A2B2C2D1C1B1A1ABCD图（2）【解析】由勾股定理得：新正方形A1B1C1D1边长为，正方形A2B2C2D2边长为5，···，正方形A4B4C4D4的边长为25，正方形A4B4C4D4的面积为625.答案：62555.求下列图中表示边长的未知数x，y的值.①81144y②625576x=15y=7在时间的大钟上只有两个字——现在.——莎士比亚