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18.2.3正方形定义边角对角线平行四边形矩形菱形几种特殊四边形的定义及性质对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边都相等对角相等，邻角互补四个角都是直角对角相等，邻角互补对角线互相平分对角线相等且互相平分对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角两组对边分别平行的四边形有一个角是直角的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算.矩形正方形邻边相等发现：一组邻边相等的矩形是正方形菱形一个角是直角正方形∟发现：一个角为直角的菱形是正方形正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形正方形性质边角对角线图形语言文字语言符号语言ACDBACDBACDB∟∟∟∟O对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC,AB=BC=CD=AD.∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8.12345678正方形是轴对称图形，它的对称轴是什么？【想一想】对角线所在直线和对边中点所确定的直线根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等四边都相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等√√√√√√√√√√√√√√正方形不但具备一般的平行四边形的性质，而且同时具备矩形和菱形的性质.√√平行四边形矩形菱形正方形你能用恰当的方式表示出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的包含关系吗？【试一试】求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.ABCDO【例1】已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO，△BCO，△CDO，【例题】四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，经测EC=50m，EB=30m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？ADBCE【解析】连接AC.∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AB=BC.∵EC=50m，EB=30m，∴S正方形ABCD=(40)2=1600(m2)，∴402m.22ACABBC40m，22BCCEBE∴【跟踪训练】一组邻边相等有一个内角是直角一组邻边相等有一个内角是直角正方形的判定一组邻边相等且有一个角是直角ＡＢＣＤＥＦＧＨ123【解析】四边形EFGH是正方形.理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=AD=DC=BC．又∵AE=BF=CG=DH.∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF，即BE=AH=DG=CF.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．EH=EF=FG=HG∠1=∠3．又∠3+∠2=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠EFG=90°.∴四边形EFGH是正方形．【例2】已知:正方形ABCD中,点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?【例题】1.从长方形木板中怎样截出最大的正方形木板?2.现有一条方巾，想请同学们帮助检验一下方巾是否是正方形的.怎样检验？【跟踪训练】通过本节课的学习，需要我们掌握：1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.2.正方形的性质与判定.3.特殊四边形之间的关系.1.（义乌·中考）下列说法不正确的是()A.一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形【解析】选D.有一个角是直角的平行四边形可能不是正方形.2.（苏州·中考）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是_______°.【解析】∵四边形ABCD是正方形∴∠CAE=45°，∠ABC=90°,又∵AE=AC,∴∠E=∠ACE=67.5°,∴∠BCE=90°-∠E=90°-67.5°=22.5°.答案：22.53.(宜宾·中考）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF,给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC.其中正确结论的序号是_____.2【解析】延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，交EC于点M，由题意易证，△BPE，△DPF为等腰直角三角形，四边形PECF为矩形，四边形BEPG为正方形.易证△APG≌△FEP,∴AP=EF，∠BAP=∠PFE，又PF∥BC,∴∠PFE=∠FEC=∠BAP,又∠BAP+∠BMA=90°，∴∠FEM+∠BMA=90°，∴∠EHM=90°即AP⊥EF.在等腰直角三角形PDF中,PD=PF=EC.答案：①②④⑤224.（红河·中考）如图，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点（G与B,C两点不重合），E,F是AG上的两点（E,F与A,G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的判断.【解析】根据题目条件可判断DE∥BF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF+∠2=90°,∵AF=AE+EF，又AF=BF+EF,∴AE=BF,∵∠1=∠2，∴△ABF≌△DAE（SAS）.∴∠AFB=∠DEA，∠BAF=∠ADE.∴∠ADE+∠2=90°，∴∠AED=∠BFA=90°,∴DE∥BF.5.（滨州·中考)如图，四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么.（2）要使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应该有怎样的情况？【解析】（1）四边形EFGH是平行四边形.连接AC,∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF∥AC，EF=AC同理HG∥AC，HG=AC∴EFHG,∴四边形EFGH是平行四边形.（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等.12126.在一块正方形的花坛上，欲修建两条笔直的小路使得两条笔直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行弗乱其所为。——《孟子•告子下》