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18.2.2菱形第2课时【基础梳理】菱形的判定方法1.定义:有一组_________的平行四边形是菱形.2.对角线_________的平行四边形是菱形.3.___________的四边形是菱形.邻边相等互相垂直四条边相等【自我诊断】(1)对角线互相垂直且相等的四边形是菱形.()(2)如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形,则需要添加的条件是()A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD×C(3)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是()A.BA=BCB.AC,BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CDB(4)如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件_________________________________,使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)OA=OC(或AD=BC或AD∥BC或AB=BC等)知识点一菱形的判定【示范题1】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.求证:四边形ADCF是菱形.【思路点拨】先证明△AEF≌△CED,推出四边形ADCF是平行四边形,再证明∠DAC=∠ACB,推出DA=DC,由此即可证明.【自主解答】∵AF∥CD,∴∠AFE=∠CDE,在△AEF和△CED中,∴△AEF≌△CED,∴AF=CD,∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形,∵∠B=90°,∠ACB=30°,∴∠CAB=60°,∵AD平分∠CAB,∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD,∴DA=DC,∴四边形ADCF是菱形.【微点拨】菱形的常用判定方法已有条件需要条件平行四边形邻边相等对角线互相垂直每条对角线平分一组对角一般四边形四条边都相等对角线互相垂直平分对角线互相平分,且每条对角线平分一组对角知识点二菱形性质与判定的综合运用【示范题2】如图,在四边形ABCF中,∠ACB=90°,点E是AB边的中点,点F恰是点E关于AC所在直线的对称点.(1)证明:四边形CFAE为菱形.(2)连接EF交AC于点O,若BC=10,求线段OF的长.【思路点拨】(1)根据直角三角形的性质得到CE=AB=EA,根据轴对称的性质得到AE=AF,CE=CF,得到CE=EA=AF=CF,根据菱形的判定定理证明结论.(2)根据菱形的性质得到OA=OC,OE=OF,根据三角形中位线定理求出OE,得到答案.12【自主解答】(1)∵∠ACB=90°,点E是AB边的中点,∴CE=AB=EA.∵点F是点E关于AC所在直线的对称点,∴AE=AF,CE=CF,∴CE=EA=AF=CF,∴四边形CFAE为菱形.12(2)∵四边形CFAE为菱形,∴OA=OC.OE=OF,又∵E为AB中点,∴OE=BC=5,∴OF=5.12【微点拨】应用菱形的判定与性质解决问题的方法1.菱形性质的三个应用(1)菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形,可将菱形的问题转化为直角三角形去解决.(2)有一个内角为60°(或120°)的菱形,连接对角线可构成等边三角形,可将菱形问题转化到等边三角形中去解决.(3)巧用菱形的对称性可解决一些求线段和最小值的问题.2.菱形的判定方法选择要判定一个四边形是菱形时,可以先说明它是平行四边形,再说明它的一组邻边相等或对角线垂直;也可说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分.在具体问题中,要注意根据题目选择合适的方法.【纠错园】如图,在▱ABCD中,∠BAD的平分线AE与BC相交于点E,∠ABC的平分线BF与AD相交于点F,AE与BF相交于点O,求证:四边形ABEF是菱形.【错因】本题错误应用菱形的判定方法,误认为“对角线互相垂直的四边形是菱形”.正确的判定方法应为“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”或“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”.