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18.2.2菱形第1课时【基础梳理】一、菱形的定义有一组_____相等的平行四边形是菱形.邻边二、菱形的性质1.菱形的四条边_______.2.菱形的两条对角线_________,并且每一条对角线平分一组_____.3.菱形是轴对称图形,_______所在的直线就是它的对称轴.都相等互相垂直对角对角线【自我诊断】(1)菱形的对角线互相垂直且相等.()(2)菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.()(3)在菱形ABCD中,AB=5cm,则此菱形的周长为()A.5cmB.15cmC.20cmD.25cm×√C(4)如图,菱形ABCD的周长是16,∠A=60°,则对角线BD的长度为()A.2B.2C.4D.433C知识点一菱形的性质【示范题1】(2017·广东中考)如图所示,已知四边形ABCD,ADEF都是菱形,∠BAD=∠FAD,∠BAD为锐角.(1)求证:AD⊥BF.(2)若BF=BC,求∠ADC的度数.【思路点拨】(1)连接DB,DF.根据菱形四边相等得出AB=AD=FA,再利用SAS证明△BAD≌△FAD,得出DB=DF,那么D在线段BF的垂直平分线上,又AB=AF,即A在线段BF的垂直平分线上,进而证明AD⊥BF.(2)设AD⊥BF于H,作DG⊥BC于G,证明DG=CD.在直角△CDG中得出∠C的度数,再根据平行线的性质即可求出∠ADC的度数.12【自主解答】(1)如图,连接DB,DF.∵四边形ABCD,ADEF都是菱形,∴AB=BC=CD=DA,AD=DE=EF=FA.在△BAD与△FAD中,∴△BAD≌△FAD,∴DB=DF,∴D在线段BF的垂直平分线上,∵AB=AF,∴A在线段BF的垂直平分线上,∴AD是线段BF的垂直平分线,∴AD⊥BF.(2)如图,设AD⊥BF于H,作DG⊥BC于G,则四边形BGDH是矩形,∴DG=BH=BF.∵BF=BC,BC=CD,∴DG=CD.1212在直角△CDG中,∵∠CGD=90°,DG=CD,∴∠C=30°,∵BC∥AD,∴∠ADC=180°-∠C=150°.12【备选例题】(2016·安顺中考)如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB=4,点E,F分别是BC,AD的中点.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)当四边形AECF为菱形时,求出该菱形的面积.【思路点拨】(1)先根据平行四边形的性质得到证明三角形全等的条件,然后根据SAS证明两个三角形全等.(2)根据菱形的四条边相等得到△ABE为等边三角形,且边长为2,然后根据勾股定理求出其高,进而根据菱形的面积公式计算.【自主解答】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,∠B=∠D,BC=AD,∵E,F分别是BC,AD的中点,∴BE=DF,在△ABE和△CDF中,(2)当四边形AECF为菱形时,△ABE为等边三角形,且BE=2,如图,过点A作AM⊥BE于M,则,∴菱形AECF的面积为22AM2132323.【微点拨】菱形的“边”与“对角线”边:菱形的一个突出特点是“四条边相等”,由此可知菱形与一般平行四边形的不同之处:邻边相等;周长是边长的4倍.在解决与菱形有关的线段长问题中,常常用到这两个结论.对角线:菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形;菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,因此由两条对角线的长可求菱形的面积,结合勾股定理可求边长或对角线的长.知识点二菱形性质的实际应用【示范题2】如图,四边形ABCD是一个菱形绿草地,其周长为40m,∠ABC=120°,在其内部有一个矩形花坛EFGH,其四个顶点恰好在菱形ABCD各边中点,现准备在花坛中种植茉莉花,其单价为30元/m2,则需投资资金多少元?(取1.732)32【思路点拨】根据菱形的性质,先求出菱形的一条对角线,由三角形的中位线定理,求出矩形的一条边,同理求得另一边,再求出矩形的面积,最后求得投资资金.【自主解答】连接BD,如图:∵∠ABC=120°,∴∠A=60°,∴△ABD为等边三角形,∵菱形的周长为40m,2∴菱形的边长为10m,∴BD=10m,∴EH=5m,∴同理求出EF=5m,∴S矩形=50m2,则需投资资金50×30=1500×1.732≈2598元.226332【微点拨】利用菱形的性质解决问题的方法利用菱形的性质,可解决实际问题中有关菱形边角的计算(或证明线段、角的相等)问题.一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到三角形中(或证明三角形的全等),再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等),从而解决问题.【纠错园】如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是BC,CD上的点,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=18°,求∠CEF的度数.【错因】本题在利用菱形性质证明△AEF是等边三角形时,只根据∠EAF=60°,就说明△AEF是等边三角形,条件不足,应先证明AE=AF,才能得出△AEF是等边三角形.